Bir P(x) polinomunun (x²-4) ile bölümünden kalan (3x+1) olduğuna göre, P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, polinom bölme ve kalan teoremi bilgilerimizi kullanarak bir polinomun farklı bölenlerle olan ilişkisini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize $P(x)$ polinomunun $(x^2-4)$ ile bölümünden kalanın $(3x+1)$ olduğu belirtilmiş. Polinom bölme algoritmasına göre, bir $P(x)$ polinomu bir $B(x)$ bölenine bölündüğünde, bir $Q(x)$ bölümü ve bir $K(x)$ kalanı oluşur ve bu durum $P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)$ şeklinde ifade edilir.
Bu durumda, $B(x) = x^2-4$ ve $K(x) = 3x+1$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunu şu şekilde yazabiliriz:
$P(x) = (x^2-4) \cdot Q(x) + (3x+1)$
Buradaki $Q(x)$, bölüm polinomunu temsil eder.
Bölenimiz olan $x^2-4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğinden faydalanılarak çarpanlarına ayrılabilir: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Yani, $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ olur.
Bu durumda, $P(x)$ polinomunu daha detaylı bir şekilde şöyle yazabiliriz:
$P(x) = (x-2)(x+2) \cdot Q(x) + (3x+1)$
Bizden $P(x)$ polinomunun $(x-2)$ ile bölümünden kalan isteniyor. Kalan Teoremi'ne göre, bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır.
Bu durumda, $(x-2)$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x-2=0$ eşitliğinden $x=2$ değerini buluruz ve bu değeri $P(x)$ polinomunda yerine yazarak $P(2)$'yi hesaplamamız gerekir.
Adım 2'de elde ettiğimiz $P(x)$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazalım:
$P(2) = (2-2)(2+2) \cdot Q(2) + (3 \cdot 2 + 1)$
Şimdi bu ifadeyi adım adım hesaplayalım:
Öncelikle $(2-2)$ ifadesi $0$ yapar.
Ardından $(2+2)$ ifadesi $4$ yapar.
Bu durumda, $(2-2)(2+2) \cdot Q(2)$ kısmı $0 \cdot 4 \cdot Q(2) = 0$ olur. Çünkü sıfır ile çarpılan her ifade sıfıra eşittir.
Son olarak, kalan kısmındaki $(3 \cdot 2 + 1)$ ifadesi $6+1 = 7$ yapar.
Tüm bunları birleştirdiğimizde:
$P(2) = 0 + 7$
$P(2) = 7$
$P(2)$ değeri $7$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunun $(x-2)$ ile bölümünden kalan $7$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
