Polinomlarda bölme işlemi Test 1

P(x) = x³ - 2x² + ax + b polinomu (x-1)² ile tam bölünebildiğine göre, a+b toplamı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili Öğrenciler,

Bu soruda, bir polinomun başka bir polinom ile tam bölünebilmesi durumunu inceleyeceğiz. Özellikle, bir polinomun $(x-k)^2$ gibi bir ifadeye tam bölünmesi, o polinomun $x=k$ noktasında hem kendisinin hem de türevinin sıfır olması anlamına gelir. Bu bilgi, soruyu çözmemiz için anahtar olacaktır.

• Adım 1: Polinomun Tanımlanması ve Bölünebilme Şartının Anlaşılması

  Verilen polinom $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$ şeklindedir.

  Polinomun $(x-1)^2$ ile tam bölünebilmesi demek, $x=1$ değerinin polinomun bir "çift katlı kökü" olması demektir. Bu durum iki önemli şartı beraberinde getirir:

  1. $P(1) = 0$ (Polinomun kendisi $x=1$ noktasında sıfır olmalı)

  2. $P'(1) = 0$ (Polinomun türevi $x=1$ noktasında sıfır olmalı)

• Adım 2: Birinci Şartı Uygulama ($P(1) = 0$)

  $P(x)$ polinomunda $x$ yerine $1$ yazarak $P(1)$ değerini bulalım ve sıfıra eşitleyelim:

  $P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + b$

  $P(1) = 1 - 2 + a + b$

  $P(1) = -1 + a + b$

  Bu ifadeyi sıfıra eşitlersek:

  $-1 + a + b = 0$

  $a + b = 1$ (Bu bizim ilk denklemimizdir.)

• Adım 3: Polinomun Türevini Alma

  İkinci şartı uygulayabilmek için öncelikle $P(x)$ polinomunun türevini ($P'(x)$) almamız gerekiyor:

  $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b$

  $P'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(b)$

  $P'(x) = 3x^2 - 4x + a + 0$

  $P'(x) = 3x^2 - 4x + a$

• Adım 4: İkinci Şartı Uygulama ($P'(1) = 0$)

  $P'(x)$ polinomunda $x$ yerine $1$ yazarak $P'(1)$ değerini bulalım ve sıfıra eşitleyelim:

  $P'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + a$

  $P'(1) = 3 - 4 + a$

  $P'(1) = -1 + a$

  Bu ifadeyi sıfıra eşitlersek:

  $-1 + a = 0$

  $a = 1$ (Bu da $a$ değerini bulmamızı sağladı.)

• Adım 5: $a$ ve $b$ Değerlerini Bulma ve Toplamı Hesaplama

  Adım 2'de bulduğumuz $a + b = 1$ denklemini ve Adım 4'te bulduğumuz $a = 1$ değerini kullanarak $b$ değerini bulabiliriz:

  $1 + b = 1$

  $b = 0$

  Şimdi bizden istenen $a+b$ toplamını hesaplayalım:

  $a + b = 1 + 0 = 1$

Bu adımları takip ederek $a+b$ toplamını $1$ olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.