Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu (x-1), (x-2) ve (x-3) ile tam bölünebilmektedir. P(0) = -6 olduğuna göre, P(4) değeri kaçtır?
A) 6Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir polinomun kökleri ve verilen bir noktadaki değeri yardımıyla, polinomun başka bir noktadaki değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Soruda verilen bilgiye göre, $P(x)$ üçüncü dereceden bir polinomdur ve $(x-1)$, $(x-2)$ ve $(x-3)$ ile tam bölünebilmektedir. Bu, $x=1$, $x=2$ ve $x=3$ değerlerinin $P(x)$ polinomunun kökleri olduğu anlamına gelir. Üçüncü dereceden bir polinomun üç kökü varsa, bu kökler polinomun çarpanlarıdır. Dolayısıyla, $P(x)$ polinomunu genel olarak şu şekilde yazabiliriz:
$P(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)$
Burada $a$, polinomun baş katsayısıdır ve bu değeri bulmamız gerekiyor.
Soruda bize $P(0) = -6$ bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak $a$ değerini bulabiliriz. $P(x)$ ifadesinde $x$ yerine $0$ yazalım:
$P(0) = a(0-1)(0-2)(0-3)$
$P(0) = a(-1)(-2)(-3)$
$P(0) = a(-6)$
Şimdi $P(0) = -6$ eşitliğini yerine yazalım:
$-6 = a(-6)$
Her iki tarafı $-6$ ile bölersek $a$ değerini buluruz:
$a = \frac{-6}{-6}$
$a = 1$
Baş katsayı $a=1$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunun tam denklemini yazabiliriz:
$P(x) = 1 \cdot (x-1)(x-2)(x-3)$
$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$
Şimdi bizden istenen $P(4)$ değerini bulmak için, $P(x)$ denkleminde $x$ yerine $4$ yazalım:
$P(4) = (4-1)(4-2)(4-3)$
$P(4) = (3)(2)(1)$
$P(4) = 6$
Böylece $P(4)$ değerini $6$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
