P(x) = x⁴ - 3x³ + ax² + bx + c polinomu (x-1)³ ile tam bölünebildiğine göre, a+b+c toplamı kaçtır?
A) -1Bir polinomun $(x-k)^n$ ile tam bölünebilmesi, $x=k$ değerinin o polinomun $n$ katlı bir kökü olduğu anlamına gelir. Bu durumda, $P(k)=0$, $P'(k)=0$, $P''(k)=0$, ..., $P^{(n-1)}(k)=0$ şartları sağlanmalıdır.
Bizim sorumuzda $P(x)$ polinomu $(x-1)^3$ ile tam bölündüğüne göre, $x=1$ değeri $P(x)$ polinomunun 3 katlı bir köküdür. Bu durumda aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır:
Bizden $a+b+c$ toplamı istendiği için, ilk şart olan $P(1)=0$ şartını kullanarak doğrudan sonuca ulaşabiliriz. Diğer şartlar ise $a$, $b$ ve $c$ katsayılarını tek tek bulmak için gerekli olacaktır.
1. Şart: $P(1) = 0$
Verilen $P(x) = x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx + c$ polinomunda $x$ yerine $1$ yazalım ve sonucu $0$'a eşitleyelim:
$P(1) = (1)^4 - 3(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 0$
$1 - 3 + a + b + c = 0$
$-2 + a + b + c = 0$
Şimdi $-2$ sayısını eşitliğin diğer tarafına atalım:
$a + b + c = 2$
Gördüğünüz gibi, sadece ilk şartı kullanarak doğrudan $a+b+c$ toplamını bulabildik. Diğer şartları (türevleri) kullanarak $a, b, c$ değerlerini ayrı ayrı da bulabilirdik, ancak sorunun bizden istediği toplam için bu adıma gerek kalmadı.
Cevap C seçeneğidir.
