Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, reel sayılar kümesinde tanımlanmış bir ikili işlemin "yutan elemanını" bulmamız isteniyor. Öncelikle bu kavramları adım adım inceleyelim.
- 1. Adım: İşlemi ve Yutan Eleman Tanımını Anlayalım
- Verilen işlem: $a \circledast b = a + b - 5$.
- Bir işlemin yutan elemanı (absorbing element veya annihilator), $y$ ile gösterilir ve şu özelliği taşır: Kümedeki her $a$ elemanı için $a \circledast y = y$ ve $y \circledast a = y$ olmalıdır. Yani, yutan eleman, kendisiyle işleme giren her elemanı "yutar" ve sonuç olarak kendisi kalır. Örneğin, çarpma işleminde $0$ yutan elemandır çünkü $a \times 0 = 0$ ve $0 \times a = 0$.
- 2. Adım: Yutan Elemanı Bulmaya Çalışalım
- Tanıma göre, bir $y$ yutan elemanı varsa, reel sayılardaki her $a$ için $a \circledast y = y$ olmalıdır.
- İşlemin tanımını yerine yazalım: $a + y - 5 = y$.
- Bu denklemi çözmek için her iki taraftan $y$ çıkaralım: $a - 5 = 0$.
- Buradan $a = 5$ sonucunu elde ederiz.
- Bu ne anlama geliyor? Bu, $a \circledast y = y$ eşitliğinin sadece $a=5$ olduğunda geçerli olduğunu gösterir. Oysa yutan eleman tanımına göre bu eşitliğin tüm $a$ değerleri için geçerli olması gerekir. Örneğin, $a=1$ için $1 \circledast y = y$ olsaydı, $1 + y - 5 = y \implies y - 4 = y \implies -4 = 0$ gibi yanlış bir sonuca ulaşırdık.
- Bu durumda, verilen tanıma göre bu işlemin bir yutan elemanı yoktur.
- 3. Adım: Terminoloji Karmaşasını Giderelim (Birim Eleman Kavramı)
- Matematikte bazen terimler karıştırılabilir veya farklı bağlamlarda farklı anlamlar taşıyabilir. "Yutan eleman" kavramı ile "birim eleman" (identity element veya etkisiz eleman) kavramı bazen birbirine karıştırılabilir. Sorunun seçenekleri ve doğru cevabı göz önüne alındığında, burada aslında birim eleman sorulmuş olma ihtimali yüksektir.
- Bir işlemin birim elemanı, $e$ ile gösterilir ve şu özelliği taşır: Kümedeki her $a$ elemanı için $a \circledast e = a$ ve $e \circledast a = a$ olmalıdır. Yani, birim eleman, kendisiyle işleme giren elemanı değiştirmez, etkisiz kalır. Örneğin, toplama işleminde $0$ birim elemandır ($a+0=a$), çarpma işleminde $1$ birim elemandır ($a \times 1 = a$).
- 4. Adım: Birim Elemanı Bulalım
- Tanıma göre, bir $e$ birim elemanı varsa, reel sayılardaki her $a$ için $a \circledast e = a$ olmalıdır.
- İşlemin tanımını yerine yazalım: $a + e - 5 = a$.
- Bu denklemi çözmek için her iki taraftan $a$ çıkaralım: $e - 5 = 0$.
- Buradan $e = 5$ sonucunu elde ederiz.
- Şimdi diğer tarafı da kontrol edelim: $e \circledast a = a$ olmalıydı.
- $e + a - 5 = a$.
- $5 + a - 5 = a$.
- $a = a$. Bu da doğru.
- Yani, bu işlemin birim elemanı $5$'tir.
- 5. Adım: Sonuç
- Matematiksel olarak kesin tanıma göre bu işlemin yutan elemanı yoktur. Ancak, sorunun seçenekleri ve doğru cevabı (B seçeneği: 5) göz önüne alındığında, soruda "yutan eleman" terimiyle kastedilenin aslında "birim eleman" olduğu anlaşılmaktadır. Bu tür terminoloji karışıklıkları bazen kaynaklarda görülebilir. Bu nedenle, sorunun amacına uygun olarak birim elemanı bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
