Matematik dersinde tanımlanan aşağıdaki işlemlerden hangisinin değişme özelliği vardır?
A) a Δ b = 2a + bMerhaba sevgili öğrenciler!
Bir işlemin değişme özelliğine sahip olması demek, işlemdeki elemanların yerleri değiştiğinde sonucun değişmemesi demektir. Yani, eğer işlemimiz $\Delta$ ise, her $a$ ve $b$ elemanı için $a \Delta b = b \Delta a$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Bu özelliği test etmek için her seçeneği tek tek inceleyelim.
Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyelim ve değişme özelliğini sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edelim:
Bu işlemde değişme özelliği olup olmadığını kontrol edelim. $a \Delta b$ ifadesi $2a + b$ olarak verilmiş.
$b \Delta a$ ifadesini bulmak için işlemdeki $a$ yerine $b$, $b$ yerine $a$ yazmalıyız: $b \Delta a = 2b + a$.
Şimdi $a \Delta b$ ile $b \Delta a$ eşit mi diye bakalım: $2a + b = 2b + a$ ?
Bu eşitlik her zaman doğru değildir. Örneğin, $a=1$ ve $b=2$ değerlerini alalım:
$1 \Delta 2 = 2(1) + 2 = 2 + 2 = 4$.
$2 \Delta 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.
$4 \neq 5$ olduğu için bu işlemin değişme özelliği yoktur.
Yine değişme özelliğini kontrol edelim.
$a \Delta b = a^2 + b$ olarak verilmiş.
$b \Delta a$ ifadesi ise $b^2 + a$ olur.
Şimdi $a \Delta b$ ile $b \Delta a$ eşit mi diye bakalım: $a^2 + b = b^2 + a$ ?
Bu eşitlik de her zaman doğru değildir. Örneğin, $a=1$ ve $b=2$ değerlerini alalım:
$1 \Delta 2 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$2 \Delta 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
$3 \neq 5$ olduğu için bu işlemin de değişme özelliği yoktur.
Değişme özelliğini kontrol edelim.
$a \Delta b = a + b + 5$ olarak verilmiş.
$b \Delta a$ ifadesini bulmak için $a$ yerine $b$, $b$ yerine $a$ yazmalıyız: $b \Delta a = b + a + 5$.
Şimdi $a \Delta b$ ile $b \Delta a$ eşit mi diye bakalım: $a + b + 5 = b + a + 5$ ?
Toplama işleminin değişme özelliği olduğu için $a + b$ ile $b + a$ birbirine eşittir. Dolayısıyla $a + b + 5$ ile $b + a + 5$ de birbirine eşittir.
Bu eşitlik her zaman doğrudur. Örneğin, $a=3$ ve $b=4$ değerlerini alalım:
$3 \Delta 4 = 3 + 4 + 5 = 12$.
$4 \Delta 3 = 4 + 3 + 5 = 12$.
$12 = 12$ olduğu için bu işlemin değişme özelliği vardır.
Değişme özelliğini kontrol edelim.
$a \Delta b = 3a - 2b$ olarak verilmiş.
$b \Delta a$ ifadesi ise $3b - 2a$ olur.
Şimdi $a \Delta b$ ile $b \Delta a$ eşit mi diye bakalım: $3a - 2b = 3b - 2a$ ?
Bu eşitlik her zaman doğru değildir. Örneğin, $a=1$ ve $b=2$ değerlerini alalım:
$1 \Delta 2 = 3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1$.
$2 \Delta 1 = 3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4$.
$-1 \neq 4$ olduğu için bu işlemin de değişme özelliği yoktur.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki işlemin değişme özelliğine sahip olduğunu gördük.
Cevap C seçeneğidir.
