Bir doğal sayının 15 ile bölümünden kalan 7'dir. Bu sayının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür sorular, bölme ve kalan kavramlarını ne kadar iyi anladığımızı gösteren temel sorulardır. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
1. Adım: Verilen Bilgiyi Matematiksel Olarak İfade Edelim
Soruda bize "bir doğal sayının 15 ile bölümünden kalan 7'dir" deniyor. Bu, o sayıyı $N$ olarak kabul edersek, $N$'yi 15'e böldüğümüzde bir $k$ tam sayısı (bölüm) ve 7 kalanı elde ettiğimiz anlamına gelir. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz:
$N = 15 \times k + 7$
Burada $k$ herhangi bir tam sayıdır (örneğin, $k=0$ için $N=7$, $k=1$ için $N=22$, $k=2$ için $N=37$ gibi).
2. Adım: Ne Bulmamız Gerektiğini Anlayalım
Bizden istenen, bu $N$ sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmaktır. Yani, $N \pmod{5}$ değerini arıyoruz.
3. Adım: $N$ İfadesini 5'e Bölüm Kalanı Açısından İnceleyelim
Biz $N = 15k + 7$ olduğunu biliyoruz. Şimdi bu ifadenin 5 ile bölümünden kalanı bulmak için her bir terimi ayrı ayrı inceleyebiliriz.
4. Adım: $15k$ Teriminin 5 ile Bölümünden Kalanı Bulalım
$15k$ ifadesine bakalım. 15 sayısı, 5'in bir katıdır ($15 = 3 \times 5$). Dolayısıyla, 15 ile çarpılan herhangi bir sayı ($15k$) da 5'in bir katı olacaktır. Bu durumda, $15k$'nın 5 ile bölümünden kalan her zaman 0'dır.
$15k \pmod{5} = 0$
5. Adım: 7 Teriminin 5 ile Bölümünden Kalanı Bulalım
Şimdi de kalan terim olan 7'ye bakalım. 7'yi 5'e böldüğümüzde bölüm 1, kalan ise 2 olur.
$7 \pmod{5} = 2$
6. Adım: Kalanları Birleştirelim
Şimdi $N = 15k + 7$ ifadesinin 5 ile bölümünden kalanı bulmak için bulduğumuz kalanları toplayabiliriz:
$N \pmod{5} = (15k \pmod{5} + 7 \pmod{5}) \pmod{5}$
$N \pmod{5} = (0 + 2) \pmod{5}$
$N \pmod{5} = 2 \pmod{5}$
$N \pmod{5} = 2$
Yani, bu sayının 5 ile bölümünden kalan 2'dir.
Cevap C seçeneğidir.
