Bir torbada 4 sarı, 5 yeşil ve 6 beyaz bilye vardır. Rastgele iki bilye çekiliyor ve çekilen bilyeler geri konmuyor. İkinci bilyenin yeşil olduğu bilindiğine göre, ilk bilyenin sarı olma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{4}{15} \)
B) \( \frac{2}{7} \)
C) \( \frac{1}{3} \)
D) \( \frac{5}{14} \)
Bu bir koşullu olasılık problemidir. İkinci bilyenin yeşil olduğu bilgisi, bizim örnek uzayımızı daraltır. Bizden istenen, bu daraltılmış örnek uzayda ilk bilyenin sarı olma olasılığıdır.
Torbadaki bilyelerin dağılımı:
- Sarı bilye sayısı: 4
- Yeşil bilye sayısı: 5
- Beyaz bilye sayısı: 6
- Toplam bilye sayısı: $4 + 5 + 6 = 15$ bilye.
Olayları tanımlayalım:
- A olayı: İlk çekilen bilyenin sarı olması.
- B olayı: İkinci çekilen bilyenin yeşil olması.
Bizden istenen, B olayı gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığıdır, yani $ P(A|B) $.
Koşullu olasılık formülü: $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
Şimdi adım adım bu değerleri hesaplayalım:
- Adım 1: $ P(A \cap B) $ değerini hesaplayalım.
Bu, ilk bilyenin sarı ve ikinci bilyenin yeşil olma olasılığıdır. Çekilen bilyeler geri konmadığı için her çekimde toplam bilye sayısı azalacaktır.
- İlk bilyenin sarı olma olasılığı: $ P(\text{1. Sarı}) = \frac{\text{Sarı bilye sayısı}}{\text{Toplam bilye sayısı}} = \frac{4}{15} $
- İlk bilye sarı çekildikten sonra torbada kalan bilyeler: 3 sarı, 5 yeşil, 6 beyaz (toplam 14 bilye).
- İkinci bilyenin yeşil olma olasılığı (ilk bilye sarı olduğu bilindiğinde): $ P(\text{2. Yeşil | 1. Sarı}) = \frac{\text{Yeşil bilye sayısı}}{\text{Kalan bilye sayısı}} = \frac{5}{14} $
- $ P(A \cap B) = P(\text{1. Sarı ve 2. Yeşil}) = P(\text{1. Sarı}) \times P(\text{2. Yeşil | 1. Sarı}) = \frac{4}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{20}{210} $
- Bu kesri sadeleştirelim: $ \frac{20}{210} = \frac{2}{21} $
- Adım 2: $ P(B) $ değerini hesaplayalım.
Bu, ikinci bilyenin yeşil olma olasılığıdır. İkinci bilyenin yeşil olması için ilk bilye sarı, yeşil veya beyaz olabilir. Bu durumların olasılıklarını toplayarak $ P(B) $ değerini buluruz (Tüm Olasılık Teoremi).
- Durum 1: İlk bilye sarı, ikinci bilye yeşil.
Bu olasılığı Adım 1'de zaten hesapladık: $ P(\text{1. Sarı ve 2. Yeşil}) = \frac{20}{210} $
- Durum 2: İlk bilye yeşil, ikinci bilye yeşil.
- İlk bilyenin yeşil olma olasılığı: $ P(\text{1. Yeşil}) = \frac{5}{15} $
- İlk bilye yeşil çekildikten sonra torbada kalan bilyeler: 4 sarı, 4 yeşil, 6 beyaz (toplam 14 bilye).
- İkinci bilyenin yeşil olma olasılığı (ilk bilye yeşil olduğu bilindiğinde): $ P(\text{2. Yeşil | 1. Yeşil}) = \frac{4}{14} $
- Bu durumun olasılığı: $ P(\text{1. Yeşil ve 2. Yeşil}) = \frac{5}{15} \times \frac{4}{14} = \frac{20}{210} $
- Durum 3: İlk bilye beyaz, ikinci bilye yeşil.
- İlk bilyenin beyaz olma olasılığı: $ P(\text{1. Beyaz}) = \frac{6}{15} $
- İlk bilye beyaz çekildikten sonra torbada kalan bilyeler: 4 sarı, 5 yeşil, 5 beyaz (toplam 14 bilye).
- İkinci bilyenin yeşil olma olasılığı (ilk bilye beyaz olduğu bilindiğinde): $ P(\text{2. Yeşil | 1. Beyaz}) = \frac{5}{14} $
- Bu durumun olasılığı: $ P(\text{1. Beyaz ve 2. Yeşil}) = \frac{6}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{30}{210} $
Tüm bu durumların olasılıklarını toplayarak $ P(B) $ değerini buluruz:
$ P(B) = P(\text{1. Sarı ve 2. Yeşil}) + P(\text{1. Yeşil ve 2. Yeşil}) + P(\text{1. Beyaz ve 2. Yeşil}) $
$ P(B) = \frac{20}{210} + \frac{20}{210} + \frac{30}{210} = \frac{70}{210} $
Bu kesri sadeleştirelim: $ \frac{70}{210} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} $
- Adım 3: $ P(A|B) $ değerini hesaplayalım.
Şimdi koşullu olasılık formülünü kullanalım: $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
- Adım 1'de $ P(A \cap B) = \frac{2}{21} $ bulmuştuk.
- Adım 2'de $ P(B) = \frac{1}{3} $ bulmuştuk.
- O halde, $ P(A|B) = \frac{\frac{2}{21}}{\frac{1}{3}} $
- Kesirlerde bölme işlemi yaparken, bölen kesri ters çevirip çarparız: $ P(A|B) = \frac{2}{21} \times \frac{3}{1} = \frac{6}{21} $
- Son olarak, bu kesri sadeleştirelim: $ \frac{6}{21} = \frac{2}{7} $
Bu durumda, ikinci bilyenin yeşil olduğu bilindiğine göre, ilk bilyenin sarı olma olasılığı $ \frac{2}{7} $'dir.
Cevap B seçeneğidir.
