Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir parabole belirli bir noktada çizilen teğetin denklemini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, türev kavramının geometrik yorumunu anlamak için çok önemlidir. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Teğet Noktasının Koordinatlarını Bulma
- Öncelikle, teğetin parabole değdiği noktanın koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Soru bize $x = 3$ noktasında teğet çizildiğini söylüyor.
- Parabolün denklemi $f(x) = x^2 - 4x + 3$'tür.
- $x$ koordinatı $x_1 = 3$ olduğuna göre, $y$ koordinatını bulmak için bu değeri $f(x)$ denklemine yazalım:
- $y_1 = f(3) = (3)^2 - 4(3) + 3$
- $y_1 = 9 - 12 + 3$
- $y_1 = 0$
- Buna göre, teğet noktası $(x_1, y_1) = (3, 0)$'dır.
- Adım 2: Teğetin Eğimini Bulma
- Bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğetin eğimi, o noktanın türevi ile bulunur. Bu, türevin en önemli uygulamalarından biridir.
- Parabolün denklemi $f(x) = x^2 - 4x + 3$'tür. Şimdi bu fonksiyonun türevini alalım:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3)$
- $f'(x) = 2x - 4$
- Teğetin eğimini ($m$) bulmak için, teğet noktasının $x$ koordinatını ($x_1 = 3$) türev denklemine yazalım:
- $m = f'(3) = 2(3) - 4$
- $m = 6 - 4$
- $m = 2$
- Yani, teğetin eğimi $m = 2$'dir.
- Adım 3: Teğet Denklemini Yazma
- Bir noktası $(x_1, y_1)$ ve eğimi $m$ olan bir doğrunun denklemi genel olarak $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülü ile bulunur.
- Bulduğumuz değerleri bu formülde yerine yazalım: $(x_1, y_1) = (3, 0)$ ve $m = 2$.
- $y - 0 = 2(x - 3)$
- $y = 2x - 6$
- İşte bu, parabolümüze $x = 3$ noktasında çizilen teğetin denklemidir!
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz teğet denklemi $y = 2x - 6$'dır.
- Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $y = 2x - 3$
- B) $y = 2x - 6$
- C) $y = 4x - 9$
- D) $y = 3x - 6$
- Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
