f(x) = x fonksiyonunun türevi ve integrali ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Türevi 0, integrali x²'dir
B) Türevi 1, integrali x²/2 + C'dir
C) Türevi x, integrali 1'dir
D) Türevi yoktur, integrali alınamaz
Sevgili öğrenciler, $f(x) = x$ fonksiyonunun türevi ve integralini adım adım inceleyelim. Bu, türev ve integralin temel kurallarını anlamak için önemli bir örnektir.
1. $f(x) = x$ Fonksiyonunun Türevi
- Türev alma kurallarından biri olan kuvvet kuralını hatırlayalım: Eğer bir fonksiyon $f(x) = x^n$ şeklinde ise, bu fonksiyonun türevi $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ formülü ile bulunur.
- Bizim fonksiyonumuz $f(x) = x$ şeklindedir. Bu ifadeyi $x^1$ olarak düşünebiliriz, yani burada $n=1$'dir.
- Şimdi kuvvet kuralını uygulayalım: $f'(x) = 1 \cdot x^{1-1}$
- Bu işlemi devam ettirirsek: $f'(x) = 1 \cdot x^0$
- Matematikte, sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti $1$'e eşittir (yani $x^0 = 1$).
- Dolayısıyla, $f'(x) = 1 \cdot 1 = 1$ sonucunu elde ederiz.
- Yani, $f(x) = x$ fonksiyonunun türevi $1$'dir.
2. $f(x) = x$ Fonksiyonunun İntegrali
- İntegral alma kurallarından biri olan kuvvet kuralını hatırlayalım: Eğer bir fonksiyon $f(x) = x^n$ şeklinde ise, bu fonksiyonun belirsiz integrali $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ formülü ile bulunur (burada $n \neq -1$ olmalıdır).
- Bizim fonksiyonumuz $f(x) = x$ şeklindedir. Bu ifadeyi $x^1$ olarak düşünebiliriz, yani burada $n=1$'dir.
- Şimdi kuvvet kuralını uygulayalım: $\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$
- Bu işlemi devam ettirirsek: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ sonucunu elde ederiz.
- Buradaki $C$ sabiti, integral sabiti olarak adlandırılır. Belirsiz integral alırken her zaman eklenmesi gereken bir sabittir, çünkü türevi $0$ olan sonsuz sayıda sabit sayı vardır.
- Yani, $f(x) = x$ fonksiyonunun integrali $\frac{x^2}{2} + C$'dir.
3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
- Yukarıdaki adımlarda $f(x) = x$ fonksiyonunun türevini $1$ ve integralini $\frac{x^2}{2} + C$ olarak bulduk.
- Şimdi bu sonuçları verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) Türevi $0$, integrali $x^2$'dir. (Yanlış, çünkü türevi $1$ ve integrali $\frac{x^2}{2} + C$'dir.)
- B) Türevi $1$, integrali $\frac{x^2}{2} + C$'dir. (Doğru, bulduğumuz sonuçlarla tamamen uyuşmaktadır.)
- C) Türevi $x$, integrali $1$'dir. (Yanlış, türevi $1$ ve integrali $\frac{x^2}{2} + C$'dir.)
- D) Türevi yoktur, integrali alınamaz. (Yanlış, $f(x)=x$ fonksiyonunun hem türevi hem de integrali vardır.)
- Görüldüğü üzere, bulduğumuz sonuçlar B seçeneğindeki ifadelerle tamamen örtüşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
