f(x) = x fonksiyonunun limiti ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Her noktada limiti vardırMerhaba sevgili öğrenciler!
Bugün $f(x) = x$ fonksiyonunun limit özelliklerini inceleyeceğiz. Bu fonksiyon, matematikteki en temel ve en iyi huylu fonksiyonlardan biridir. Doğrusal bir fonksiyondur ve her yerde süreklidir. Sürekli fonksiyonların limitlerini bulmak genellikle çok kolaydır, çünkü limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
Bu ifade doğrudur. $f(x) = x$ bir polinom fonksiyondur. Tüm polinom fonksiyonlar, tanım kümelerindeki her noktada süreklidir. Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise, o noktada limiti mutlaka vardır. Dolayısıyla, $f(x) = x$ fonksiyonunun her $a \in \mathbb{R}$ için $\lim_{x \to a} f(x)$ değeri mevcuttur.
Bu ifade de doğrudur. Yukarıda belirttiğimiz gibi, $f(x) = x$ fonksiyonu her yerde süreklidir. Bir fonksiyon $a$ noktasında sürekli ise, o noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. Yani, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$'dır. Bizim fonksiyonumuz için $f(a) = a$ olduğundan, $\lim_{x \to a} x = a$ olur.
Bu ifade doğrudur. $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x$ ifadesini değerlendiriyoruz. $x$ değeri sonsuza doğru büyüdükçe, $f(x) = x$ fonksiyonunun değeri de sonsuza doğru büyür. Bu nedenle, $\lim_{x \to \infty} x = \infty$'dur.
Bu ifade yanlıştır. $f(x) = x$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreklidir. Sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki limiti vardır ve o noktadaki fonksiyon değerine eşittir. Dolayısıyla, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ olmalıdır. $f(0) = 0$ olduğu için, $\lim_{x \to 0} x = 0$'dır. Yani, $x$ 0'a giderken limiti vardır ve bu limit 0'dır. İfade, limitin olmadığını söylediği için yanlıştır.
Cevap D seçeneğidir.
