Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden çizilen açıortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. Eğer $|AB|=6$ cm, $|AC|=9$ cm ve $|BC|=10$ cm ise $|BD|$ uzunluğu kaç cm'dir?
A) $4$Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir üçgende açıortayın özelliklerini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız. Geometri problemlerini çözerken en önemli adımlardan biri, doğru teoremi veya kuralı hatırlamak ve onu doğru şekilde uygulamaktır. Bu soruda da Açıortay Teoremi bize yol gösterecek.
1. Açıortay Teoremini Hatırlayalım:
Bir üçgende bir köşeden çizilen açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden çizilen açıortay $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyorsa, aşağıdaki oran geçerlidir:
$\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|}$
2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
Soruda bize şu uzunluklar verilmiş:
$|AB| = 6$ cm
$|AC| = 9$ cm
$|BC| = 10$ cm
Bizden istenen uzunluk ise $|BD|$'dir. Bu uzunluğa $x$ diyelim. Yani, $|BD| = x$.
$D$ noktası $BC$ kenarı üzerinde olduğu için, $|BC| = |BD| + |CD|$ eşitliği geçerlidir. Bu durumda, $10 = x + |CD|$ olur. Buradan $|CD|$ uzunluğunu $x$ cinsinden ifade edebiliriz: $|CD| = 10 - x$.
3. Açıortay Teoremini Uygulayalım ve Denklemi Kuralım:
Şimdi Açıortay Teoremi'ndeki oranları verilen değerlerle yerine yazalım:
$\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|}$
$\frac{x}{10 - x} = \frac{6}{9}$
4. Denklemi Çözerek $x$ Değerini Bulalım:
Öncelikle denklemin sağ tarafındaki oranı sadeleştirelim. Hem $6$ hem de $9$, $3$'e bölünebilir:
$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
$\frac{x}{10 - x} = \frac{2}{3}$
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:
$3 \cdot x = 2 \cdot (10 - x)$
$3x = 20 - 2x$
$-2x$'i denklemin sol tarafına artı olarak geçirelim:
$3x + 2x = 20$
$5x = 20$
Her iki tarafı $5$'e bölelim:
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
5. Sonucu Belirleyelim:
Bulduğumuz $x$ değeri, $|BD|$ uzunluğuna eşittir. Yani, $|BD| = 4$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
