10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 2

Boyutları $48$ metre ve $60$ metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?

A) $6$
B) $8$
C) $10$
D) $12$
E) $15$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, dikdörtgen şeklindeki bir bahçeyi eş kare parsellere ayırmak istiyoruz. Önemli olan, hiç boşluk kalmaması ve parsellerin üst üste gelmemesi. Ayrıca, bu kare parsellerin bir kenar uzunluğunun en fazla kaç metre olabileceğini bulmamız isteniyor.

• Adım 1: Problemi Anlayalım

Bahçemizin boyutları $48$ metre ve $60$ metredir. Bu bahçeyi kare parsellere ayıracağımız için, bir karenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu kare parsellerin bir kenar uzunluğu, hem $48$ metreyi hem de $60$ metreyi tam olarak bölmelidir. Çünkü eğer bölmezse, ya boşluk kalır ya da parseller tam oturmaz.

• Adım 2: Hangi Matematiksel Kavramı Kullanacağımızı Belirleyelim

Parsellerin bir kenar uzunluğu hem $48$'in hem de $60$'ın bir böleni olmalıdır. Bizden bu kenar uzunluğunun en fazla kaç metre olabileceği istendiği için, $48$ ve $60$ sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmamız gerekiyor. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır.

• Adım 3: $48$ ve $60$ Sayılarının Asal Çarpanlarını Bulalım

EBOB'u bulmanın en yaygın yollarından biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Asal çarpanlar, bir sayıyı oluşturan asal sayılardır.

• $48$ sayısının asal çarpanları:

$48 \div 2 = 24$

$24 \div 2 = 12$

$12 \div 2 = 6$

$6 \div 2 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Yani, $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$

• $60$ sayısının asal çarpanları:

$60 \div 2 = 30$

$30 \div 2 = 15$

$15 \div 3 = 5$

$5 \div 5 = 1$

Yani, $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$

• Adım 4: EBOB'u Hesaplayalım

EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpan listesinde ortak olan asal çarpanları ve bu çarpanların en küçük üslerini alırız.

• Ortak asal çarpanlar: $2$ ve $3$.
• $2$ için en küçük üs: $48$'de $2^4$, $60$'ta $2^2$. En küçüğü $2^2$.
• $3$ için en küçük üs: $48$'de $3^1$, $60$'ta $3^1$. En küçüğü $3^1$.
• $5$ asal çarpanı sadece $60$'ta olduğu için ortak değildir, bu yüzden EBOB hesabına katılmaz.

EBOB$(48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

• Adım 5: Sonucu Yorumlayalım

Bulduğumuz EBOB değeri olan $12$, eş kare parsellerin bir kenar uzunluğunun en fazla $12$ metre olabileceği anlamına gelir. Bu durumda, $48$ metrelik kenara $48 \div 12 = 4$ parsel, $60$ metrelik kenara ise $60 \div 12 = 5$ parsel sığar. Toplamda $4 \times 5 = 20$ adet eş kare parsel elde ederiz.

Cevap D seçeneğidir.