10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

Bir okulda öğrencilerin spor yapma alışkanlığı (Düzenli, Ara sıra, Hiç) ile akademik başarıları (Yüksek, Orta, Düşük) arasındaki ilişkiyi incelemek için bir araştırma yapılmıştır. Aşağıdaki çapraz tablo verilmiştir: | | Yüksek Başarı | Orta Başarı | Düşük Başarı | Toplam | |---|---|---|---|---| | Düzenli Spor | 40 | 20 | 10 | 70 | | Ara sıra Spor | 30 | 30 | 20 | 80 | | Hiç Spor Yapmayan | 10 | 20 | 20 | 50 | | Toplam | 80 | 70 | 50 | 200 | Bu verilere göre, "düzenli spor yapan" ve "yüksek başarıya sahip" olma durumlarının birbirinden bağımsız olup olmadığını yorumlayınız. (Bağımsızlık için $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ olmalıdır.)

A) Bağımsızdır, çünkü $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı}) = P(\text{Düzenli Spor}) \cdot P(\text{Yüksek Başarı})$
B) Bağımsız değildir, çünkü $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı}) \neq P(\text{Düzenli Spor}) \cdot P(\text{Yüksek Başarı})$
C) Bağımsızdır, çünkü düzenli spor yapanların çoğu yüksek başarıya sahiptir.
D) Bağımsız değildir, çünkü düzenli spor yapanların oranı ile yüksek başarı oranı farklıdır.
E) Veriler bağımsızlık hakkında yorum yapmak için yeterli değildir.

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

Öncelikle, iki olayın bağımsız olması ne anlama geliyor, onu hatırlayalım. İki olay bağımsız ise, birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez. Matematiksel olarak, A ve B olayları bağımsız ise, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ olmalıdır.

Şimdi sorudaki olasılıkları hesaplayalım:

• $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı})$: Hem düzenli spor yapan hem de yüksek başarıya sahip olma olasılığı. Tablodan bu sayının 40 olduğunu görüyoruz. Toplam öğrenci sayısı 200 olduğu için, bu olasılık $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı}) = \frac{40}{200} = \frac{1}{5} = 0.2$'dir.
• $P(\text{Düzenli Spor})$: Düzenli spor yapma olasılığı. Tablodan düzenli spor yapanların sayısının 70 olduğunu görüyoruz. Toplam öğrenci sayısı 200 olduğu için, bu olasılık $P(\text{Düzenli Spor}) = \frac{70}{200} = \frac{7}{20} = 0.35$'dir.
• $P(\text{Yüksek Başarı})$: Yüksek başarıya sahip olma olasılığı. Tablodan yüksek başarıya sahip olanların sayısının 80 olduğunu görüyoruz. Toplam öğrenci sayısı 200 olduğu için, bu olasılık $P(\text{Yüksek Başarı}) = \frac{80}{200} = \frac{2}{5} = 0.4$'dir.

Şimdi $P(\text{Düzenli Spor}) \cdot P(\text{Yüksek Başarı})$'yı hesaplayalım: $0.35 \cdot 0.4 = 0.14$'tür.

Son olarak, $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı})$ ile $P(\text{Düzenli Spor}) \cdot P(\text{Yüksek Başarı})$'yı karşılaştıralım: $0.2 \neq 0.14$'tür.

Gördüğümüz gibi, $P(\text{Düzenli Spor} \cap \text{Yüksek Başarı}) \neq P(\text{Düzenli Spor}) \cdot P(\text{Yüksek Başarı})$ olduğu için, "düzenli spor yapan" ve "yüksek başarıya sahip" olma durumları birbirinden bağımsız değildir.

Cevap B seçeneğidir.