Bir sporcu antrenmanda topu $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ metre yüksekliğe fırlatıyor, burada $t$ saniye cinsinden zamanı göstermektedir. Topun havada ulaştığı maksimum yükseklik kaç metredir?
A) 2Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sporcunun fırlattığı topun yüksekliğini zamanla ilişkilendiren bir fonksiyon verilmiş ve bizden topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulmamız isteniyor. Gelin bu problemi adım adım çözelim.
Topun yüksekliğini veren fonksiyon $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ şeklindedir. Bu ifade, ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol denklemi). Genel olarak $ax^2 + bx + c$ şeklinde yazılan bu tür fonksiyonlarda, $x^2$ teriminin katsayısı ($a$) negatif ise parabol aşağıya doğru açılır ve bir tepe noktasına (maksimum değere) sahiptir. Bizim fonksiyonumuzda $a = -5$ olduğu için, topun ulaşabileceği bir maksimum yükseklik vardır.
Bir parabolün tepe noktasının $x$ (veya bizim durumumuzda $t$) koordinatı, $t = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bu $t$ değeri, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı temsil eder.
Fonksiyonumuzda $a = -5$ ve $b = 20$ olduğuna göre, $t$ değerini hesaplayalım:
$t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)}$
$t = -\frac{20}{-10}$
$t = 2$ saniye
Bu, topun fırlatıldıktan 2 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşacağı anlamına gelir.
Şimdi bulduğumuz $t = 2$ saniye değerini, topun yükseklik fonksiyonu olan $h(t)$'ye yerine koyarak maksimum yüksekliği bulabiliriz:
$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2$
$h(2) = -5(4) + 40 + 2$
$h(2) = -20 + 40 + 2$
$h(2) = 20 + 2$
$h(2) = 22$ metre
Yani, topun havada ulaştığı maksimum yükseklik 22 metredir.
Bu adımları takip ederek, topun havada ulaştığı maksimum yüksekliğin 22 metre olduğunu bulduk.
Cevap D seçeneğidir.
