10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 4

Bir mühendis, bir köprü kemeri için $y = (m-1)x^2 - 4x + m$ denklemi ile verilen bir parabolik yapı tasarlıyor. Bu kemerin simetri ekseni $x=1$ doğrusu olduğuna göre, parabolün $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün simetri ekseni bilgisini kullanarak, parabolün $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Parabol Denklemini ve Katsayılarını Belirleyelim:

  Verilen parabol denklemi $y = (m-1)x^2 - 4x + m$ şeklindedir. Genel bir parabol denklemi $y = ax^2 + bx + c$ formatındadır. Bu iki denklemi karşılaştırırsak, katsayıları şu şekilde belirleyebiliriz:

  • $a = m-1$
  • $b = -4$
  • $c = m$

• 2. Simetri Ekseni Bilgisini Kullanarak $m$ Değerini Bulalım:

  Bir parabolün simetri ekseni $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Soruda bize simetri ekseninin $x=1$ doğrusu olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi ve belirlediğimiz katsayıları formülde yerine yazalım:

  • $1 = -\frac{-4}{2(m-1)}$
  • $1 = \frac{4}{2(m-1)}$
  • $1 = \frac{2}{m-1}$
  • Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $m$ değerini bulalım:
  • $m-1 = 2$
  • $m = 2+1$
  • $m = 3$

• 3. Parabolün Tam Denklemini Yazalım:

  $m$ değerini $3$ olarak bulduğumuza göre, bu değeri başlangıçtaki parabol denklemine yerine yazarak parabolün tam denklemini elde edebiliriz:

  • $y = (m-1)x^2 - 4x + m$
  • $y = (3-1)x^2 - 4x + 3$
  • $y = 2x^2 - 4x + 3$

• 4. Parabolün $y$-eksenini Kestiği Noktanın Ordinatını Bulalım:

  Bir fonksiyonun $y$-eksenini kestiği nokta, $x=0$ olduğunda elde edilen $y$ değeridir. Bu noktaya $y$-keseni denir. Bulduğumuz parabol denkleminde $x$ yerine $0$ yazalım:

  • $y = 2(0)^2 - 4(0) + 3$
  • $y = 0 - 0 + 3$
  • $y = 3$

  Bu durumda, parabolün $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı $3$ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.