10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 5

Bir lunaparktaki hız treninin rayının bir bölümü, yataydaki konum ($x$) ile dikeydeki yükseklik ($y$) arasındaki ilişkiyi $y = 0.5x^2 - 4x + 10$ karesel fonksiyonu ile modellemektedir. Trenin ray üzerinde geçtiği $A(2, Y)$ noktasındaki yüksekliği $Y$ kaç metre olmalıdır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir hız treninin rayının yüksekliğini modelleyen bir fonksiyonu kullanarak belirli bir noktadaki yüksekliği bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonu Anlama:

  Bize verilen fonksiyon, hız treninin rayının yataydaki konumu ($x$) ile dikeydeki yüksekliği ($y$) arasındaki ilişkiyi gösteriyor. Fonksiyonumuz şudur: $y = 0.5x^2 - 4x + 10$.

  Bu fonksiyon, bize herhangi bir $x$ (yatay konum) değeri verildiğinde, o noktadaki rayın $y$ (yükseklik) değerini hesaplamamızı sağlar.

• 2. Verilen Noktayı Belirleme:

  Soru bize trenin ray üzerinde geçtiği $A(2, Y)$ noktasındaki yüksekliği ($Y$) soruyor. Bu ifade, yatay konumun $x=2$ olduğu ve bu konumdaki yüksekliğin $Y$ olduğu anlamına gelir. Yani, bizden $x=2$ iken $y$ değerini bulmamız isteniyor.

• 3. Fonksiyonda $x$ Değerini Yerine Koyma:

  Şimdi, fonksiyon denklemindeki her $x$ yerine $2$ yazarak $Y$ değerini hesaplayalım:

  $Y = 0.5(2)^2 - 4(2) + 10$

• 4. İşlemleri Adım Adım Yapma:

  Matematiksel işlem önceliğine dikkat ederek hesaplamaları yapalım (önce üslü sayılar, sonra çarpma/bölme, en son toplama/çıkarma):

  • Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $(2)^2 = 4$.
  • Denklemimiz şimdi şöyle olur: $Y = 0.5(4) - 4(2) + 10$.
  • Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:
    • $0.5 \times 4 = 2$
    • $4 \times 2 = 8$
  • Denklemimiz şimdi şöyle olur: $Y = 2 - 8 + 10$.
  • Son olarak, toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru yapalım:
    • $Y = 2 - 8 = -6$
    • $Y = -6 + 10 = 4$
• 5. Sonucu Belirleme:

  Hesaplamalar sonucunda, $x=2$ konumundaki rayın yüksekliği $Y = 4$ metre olarak bulunur.

Bu durumda, trenin ray üzerinde geçtiği $A(2, Y)$ noktasındaki yükseklik $4$ metre olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.