10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 5

Bir şehir planlamacısı, yeni bir parkın giriş kemerini parabolik şekilde tasarlamıştır. Kemerin taban genişliği $10$ metre ve kemerin en yüksek noktası yerden $9$ metre yüksekliktedir. Kemerin tabanı, zeminin $x$ ekseni ve yerden yüksekliği $y$ ekseni olarak kabul edildiğinde, kemerin tepe noktası $(5, 9)$ ve $x$-kesişimleri $(0,0)$ ve $(10,0)$ olmaktadır. Planlamacı, kemerin $x=2$ noktasındaki yüksekliğini merak etmektedir. Buna göre, $x=2$ noktasındaki kemer yüksekliği kaç metredir?

A) $2.88$
B) $3.60$
C) $4.80$
D) $5.76$
E) $6.40$

Bu problemde, parabolik bir kemerin yüksekliğini belirli bir noktada bulmamız isteniyor. Parabol denklemini oluşturarak bu sorunu kolayca çözebiliriz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Parabolün Denklemini Belirlemek İçin Gerekli Bilgileri Toplayalım:

  Bize verilen bilgiler şunlardır:

  Kemerin tepe noktası (maksimum yükseklik): $(5, 9)$

  Kemerin $x$-eksenini kestiği noktalar (taban genişliği): $(0,0)$ ve $(10,0)$

• 2. Parabol Denkleminin Genel Formunu Seçelim:

  Bir parabolün $x$-eksenini kestiği noktalar $p$ ve $q$ ise, denklemi $y = a(x - p)(x - q)$ şeklinde yazabiliriz. Bu forma "kesişim noktaları formu" denir.

  Bizim durumumuzda, $p = 0$ ve $q = 10$. Bu değerleri denklemde yerine koyarsak:

  $y = a(x - 0)(x - 10)$

  $y = ax(x - 10)$

• 3. 'a' Katsayısını Bulalım:

  Parabolün tepe noktası $(5, 9)$ da parabolün üzerindedir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak 'a' katsayısını bulabiliriz. $x=5$ ve $y=9$ değerlerini kullanalım:

  $9 = a(5)(5 - 10)$

  $9 = a(5)(-5)$

  $9 = -25a$

  $a = -\frac{9}{25}$

• 4. Parabolün Tam Denklemini Yazalım:

  Şimdi 'a' katsayısını bulduğumuza göre, parabolün tam denklemini yazabiliriz:

  $y = -\frac{9}{25}x(x - 10)$

• 5. $x=2$ Noktasındaki Yüksekliği Hesaplayalım:

  Planlamacı, kemerin $x=2$ noktasındaki yüksekliğini merak ediyor. Bu değeri bulmak için $x=2$ değerini parabol denkleminde yerine koyalım:

  $y = -\frac{9}{25}(2)(2 - 10)$

  $y = -\frac{9}{25}(2)(-8)$

  $y = -\frac{9}{25}(-16)$

  $y = \frac{9 \times 16}{25}$

  $y = \frac{144}{25}$

  Bu kesirli ifadeyi ondalık sayıya çevirelim:

  $y = 5.76$ metre

Buna göre, kemerin $x=2$ noktasındaki yüksekliği $5.76$ metredir.

Cevap D seçeneğidir.