Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x)$ fonksiyonu,
$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 1, & x < 1 \\ 2x + b, & x = 1 \\ 4x + 1, & x > 1 \end{cases}$
biçiminde tanımlanmıştır.
$f(x)$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında sürekli olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$
Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel koşulu sağlaması gerekir:
- Fonksiyonun o noktadaki değeri tanımlı olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki sağdan ve soldan limitleri var olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. Yani, $f(c) = \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$ olmalıdır.
Bu soruda, $f(x)$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında sürekli olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, yukarıdaki koşulları $x = 1$ noktası için uygulayacağız.
- $f(1)$ değerini bulalım:
Fonksiyonun tanımına göre, $x = 1$ için $f(x) = 2x + b$ kullanılır.
Bu durumda, $f(1) = 2(1) + b = 2 + b$ olur.
- $x = 1$ noktasındaki soldan limiti bulalım:
$x \to 1^-$ demek, $x$'in $1$'den küçük değerlerle $1$'e yaklaşması demektir. Fonksiyonun tanımına göre, $x < 1$ için $f(x) = ax^2 - 1$ kullanılır.
Bu durumda, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 - 1) = a(1)^2 - 1 = a - 1$ olur.
- $x = 1$ noktasındaki sağdan limiti bulalım:
$x \to 1^+$ demek, $x$'in $1$'den büyük değerlerle $1$'e yaklaşması demektir. Fonksiyonun tanımına göre, $x > 1$ için $f(x) = 4x + 1$ kullanılır.
Bu durumda, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4x + 1) = 4(1) + 1 = 5$ olur.
- Süreklilik koşulunu uygulayalım:
Fonksiyon $x = 1$ noktasında sürekli olduğuna göre, $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ eşitliği sağlanmalıdır.
Yani, $2 + b = a - 1 = 5$ olmalıdır.
- $a$ ve $b$ değerlerini bulalım:
Öncelikle $a - 1 = 5$ eşitliğinden $a$ değerini bulalım:
$a - 1 = 5 \implies a = 5 + 1 \implies a = 6$.
Şimdi de $2 + b = 5$ eşitliğinden $b$ değerini bulalım:
$2 + b = 5 \implies b = 5 - 2 \implies b = 3$.
- $a + b$ toplamını hesaplayalım:
Bulduğumuz $a = 6$ ve $b = 3$ değerlerini kullanarak $a + b$ toplamını bulalım:
$a + b = 6 + 3 = 9$.
Cevap E seçeneğidir.
