Verilen fonksiyon $f(x) = (x^2 + 3)(2x - 1)$ bir çarpım fonksiyonudur. Bu tür fonksiyonların türevini almak için çarpım kuralını kullanırız. Çarpım kuralı şu şekildedir:
- Eğer $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ise, türevi $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ şeklinde bulunur.
- Öncelikle fonksiyonumuzdaki $u(x)$ ve $v(x)$ kısımlarını belirleyelim:
- $u(x) = x^2 + 3$
- $v(x) = 2x - 1$
- Şimdi bu iki kısmın ayrı ayrı türevlerini alalım:
- $u'(x)$'i bulalım: $u(x) = x^2 + 3$ fonksiyonunun türevi, kuvvet kuralı $(x^n)' = nx^{n-1}$ ve sabit terimin türevinin sıfır olması kuralı kullanılarak bulunur.
$u'(x) = (x^2)' + (3)' = 2x^{2-1} + 0 = 2x$.
- $v'(x)$'i bulalım: $v(x) = 2x - 1$ fonksiyonunun türevi, $(cx)' = c$ ve sabit terimin türevinin sıfır olması kuralı kullanılarak bulunur.
$v'(x) = (2x)' - (1)' = 2 - 0 = 2$.
- Bulduğumuz $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini çarpım kuralı formülünde yerine yazalım:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 3)(2)$
- Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:
Önce parantez içindeki çarpımları yapalım:
$f'(x) = (2x \cdot 2x - 2x \cdot 1) + (2 \cdot x^2 + 2 \cdot 3)$
$f'(x) = (4x^2 - 2x) + (2x^2 + 6)$
- Son olarak benzer terimleri birleştirelim:
$f'(x) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6$
$f'(x) = (4x^2 + 2x^2) - 2x + 6$
$f'(x) = 6x^2 - 2x + 6$
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
