$f(x) = (x^2 + 3x - 1)^4$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $4(x^2 + 3x - 1)^3$
B) $(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^3$
C) $4(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^3$
D) $4(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^4$
E) $4x(x^2 + 3x - 1)^3$
Verilen fonksiyon $f(x) = (x^2 + 3x - 1)^4$ şeklindedir. Bu fonksiyon, bir bileşke fonksiyondur ve türevini bulmak için Zincir Kuralı'nı kullanmamız gerekir.
Zincir Kuralı, eğer $y = [g(x)]^n$ şeklinde bir fonksiyonunuz varsa, türevinin $y' = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ olduğunu söyler. Yani, önce dıştaki fonksiyonun türevini alırız, sonra içteki fonksiyonun türevini alıp çarparız.
- Öncelikle, fonksiyonun iç kısmını $g(x)$ olarak tanımlayalım: $g(x) = x^2 + 3x - 1$.
- Fonksiyonun dış kısmı ise $u^4$ şeklindedir, burada $u = g(x)$'tir.
- Şimdi, dıştaki fonksiyonun türevini alalım. $u^4$ ifadesinin $u$'ya göre türevi $4u^3$'tür.
- Daha sonra, içteki fonksiyon olan $g(x) = x^2 + 3x - 1$'in türevini alalım. $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 1)$.
- $x^2$'nin türevi $2x$'tir.
- $3x$'in türevi $3$'tür.
- $-1$'in türevi (sabit bir sayı olduğu için) $0$'dır.
- Dolayısıyla, $g'(x) = 2x + 3$ olur.
- Şimdi Zincir Kuralı'nı uygulayalım: $f'(x) = 4 \cdot [g(x)]^{4-1} \cdot g'(x)$.
- $f'(x) = 4 \cdot (x^2 + 3x - 1)^3 \cdot (2x + 3)$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $f'(x) = 4(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^3$.
Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
