10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ülke Geneli Ortak Sınav Test 5

$f(x) = x^2 - 6x + 10$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) $1$

B) $2$

C) $3$

D) $4$

E) $5$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir parabolün en küçük değerini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için, parabolümüzün kolları yukarıya doğrudur. Bu da demektir ki, fonksiyonun bir minimum (en küçük) değeri vardır.

Bu en küçük değeri bulmak için birkaç yöntem kullanabiliriz. Biz burada "tam kareye tamamlama" yöntemini kullanacağız. Bu yöntem, fonksiyonu $(x-h)^2 + k$ şeklinde yazmamızı sağlar, burada $k$ fonksiyonun en küçük değeridir.

• Adım 1: Fonksiyonu İnceleyelim

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Amacımız, bu ifadeyi $(x-h)^2 + k$ biçimine getirmektir.

• Adım 2: Tam Kare İfade Oluşturalım

  Bir tam kare ifade, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ şeklindedir. Bizim fonksiyonumuzdaki $x^2 - 6x$ kısmını bu formata benzetmeye çalışacağız. Burada $a=x$ olduğunu düşünebiliriz. O zaman $-2ab$ terimi $-6x$ olmalı. Yani $-2xb = -6x$, buradan $2b = 6$ ve $b = 3$ buluruz.

  Bu durumda, $b^2$ terimi $3^2 = 9$ olmalıdır. Yani $x^2 - 6x$ ifadesini bir tam kareye tamamlamak için $+9$ eklememiz gerekir.

• Adım 3: Fonksiyonu Yeniden Düzenleyelim

  İfadeye $+9$ eklediğimizde, fonksiyonun değerini değiştirmemek için aynı zamanda $-9$ da çıkarmalıyız. Böylece fonksiyonun değeri değişmez ama istediğimiz tam kareyi elde etmiş oluruz:

  $f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 10$

• Adım 4: Tam Kareyi Belirleyelim ve Sadeleştirelim

  Şimdi ilk üç terimi bir tam kare olarak yazabiliriz:

  $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10$

  $f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 10$

  Son olarak, sabit terimleri toplayalım:

  $f(x) = (x - 3)^2 + 1$

• Adım 5: En Küçük Değeri Bulalım

  Şimdi fonksiyonumuz $f(x) = (x - 3)^2 + 1$ şekline geldi. Bu ifadede $(x - 3)^2$ terimi her zaman $\ge 0$ (sıfıra eşit veya sıfırdan büyük) olacaktır, çünkü bir sayının karesi asla negatif olamaz.

  $(x - 3)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $0$'dır. Bu durum, $x - 3 = 0$, yani $x = 3$ olduğunda gerçekleşir.

  $(x - 3)^2$ terimi $0$ olduğunda, fonksiyonun değeri:

  $f(x) = 0 + 1 = 1$ olur.

  Bu, fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir.

Bu adımları takip ederek, $f(x) = x^2 - 6x + 10$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değerin $1$ olduğunu bulduk.

Cevap A seçeneğidir.