10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ülke Geneli Ortak Sınav Test 5

$f(x) = \sqrt{5 - x}$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi $(-\infty, 5]$'tir.

B) Görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur.

C) Fonksiyon, tanım kümesi üzerinde artandır.

D) $f(1) = 2$'dir.

E) $x = 5$ noktasında $y = 0$'dır.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $f(x) = \sqrt{5 - x}$ fonksiyonu ile ilgili verilen ifadelerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) Tanım kümesi $(-\infty, 5]$'tir.

  Bir karekök fonksiyonunda, karekökün içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, $5 - x \ge 0$ olmalıdır.

  Bu eşitsizliği çözelim:

  $5 - x \ge 0$

  $5 \ge x$

  Veya $x \le 5$.

  Bu da demektir ki, $x$ değeri $5$'e eşit veya $5$'ten küçük tüm reel sayılar olabilir. Bu aralık $(-\infty, 5]$ şeklinde ifade edilir.

  Dolayısıyla, A seçeneği doğrudur.

• B) Görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur.

  Karekök sembolü $(\sqrt{})$ her zaman negatif olmayan bir sonuç verir. Yani $\sqrt{A}$ ifadesinin sonucu daima $0$ veya pozitif bir sayıdır.

  Tanım kümemiz $(-\infty, 5]$ olduğu için, $x$ en fazla $5$ olabilir. $x=5$ olduğunda $f(5) = \sqrt{5 - 5} = \sqrt{0} = 0$ olur.

  $x$ değeri küçüldükçe (örneğin $x=1$, $x=-4$), $5-x$ değeri büyür ve dolayısıyla $\sqrt{5-x}$ değeri de büyür.

  Örneğin:

  • $f(5) = \sqrt{0} = 0$
  • $f(1) = \sqrt{4} = 2$
  • $f(-4) = \sqrt{9} = 3$

  Görüldüğü gibi, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $0$'dır ve $x$ azaldıkça fonksiyon değeri sınırsızca artar. Bu nedenle görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur.

  Dolayısıyla, B seçeneği doğrudur.

• C) Fonksiyon, tanım kümesi üzerinde artandır.

  Bir fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu anlamak için, tanım kümesinden iki farklı $x$ değeri seçip fonksiyon değerlerini karşılaştırabiliriz. Eğer $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) < f(x_2)$ oluyorsa fonksiyon artandır. Eğer $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) > f(x_2)$ oluyorsa fonksiyon azalandır.

  Tanım kümesi $(-\infty, 5]$ olduğundan, bu aralıktan iki değer seçelim. Örneğin $x_1 = 1$ ve $x_2 = 4$ olsun. Bu durumda $x_1 < x_2$ ($1 < 4$).

  • $f(x_1) = f(1) = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$
  • $f(x_2) = f(4) = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$

  Burada $f(1) = 2$ ve $f(4) = 1$ olduğundan, $f(x_1) > f(x_2)$ ($2 > 1$) sonucunu elde ederiz. Bu durum, fonksiyonun azalan olduğunu gösterir.

  Matematiksel olarak türev kullanarak da kontrol edebiliriz: $f'(x) = \frac{d}{dx} (5 - x)^{1/2} = \frac{1}{2} (5 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5 - x}}$.

  Tanım kümesi üzerinde ($x < 5$ için), $\sqrt{5 - x}$ daima pozitif bir değerdir. Bu durumda $f'(x)$ değeri daima negatif olacaktır. Bir fonksiyonun türevi negatifse, o fonksiyon azalandır.

  Dolayısıyla, C seçeneği yanlıştır.

• D) $f(1) = 2$'dir.

  Fonksiyonda $x$ yerine $1$ yazalım:

  $f(1) = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$.

  Dolayısıyla, D seçeneği doğrudur.

• E) $x = 5$ noktasında $y = 0$'dır.

  Fonksiyonda $x$ yerine $5$ yazalım:

  $f(5) = \sqrt{5 - 5} = \sqrt{0} = 0$.

  Yani, $x=5$ iken $y=0$'dır.

  Dolayısıyla, E seçeneği doğrudur.

Yukarıdaki analizler sonucunda, yanlış olan ifadenin C seçeneği olduğunu bulduk.

Cevap C seçeneğidir.