Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle köklü bir denklemi adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Denklemlerin çözümünde her adımı dikkatlice takip etmek ve bulduğumuz sonuçları kontrol etmek çok önemlidir. Haydi başlayalım!
- 1. Adım: Denklemi Tanımlama ve Kısıtlamaları Belirleme
- Verilen denklem $\sqrt{2x+7} = x-4$ şeklindedir. Bu bir köklü denklemdir.
- Kareköklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani $2x+7 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $2x \ge -7 \Rightarrow x \ge -\frac{7}{2}$ elde ederiz.
- Ayrıca, bir karekökün sonucu negatif olamaz. Bu nedenle denklemin sağ tarafı da negatif olmamalıdır. Yani $x-4 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $x \ge 4$ elde ederiz.
- Bu iki kısıtlamayı birleştirdiğimizde, çözümümüzün $x \ge 4$ koşulunu sağlaması gerektiğini anlarız. Bu, bulduğumuz olası çözümleri kontrol etmek için çok önemlidir.
- 2. Adım: Karekökü Ortadan Kaldırma
- Karekökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini almalıyız.
- $(\sqrt{2x+7})^2 = (x-4)^2$
- Bu işlemi yaptığımızda: $2x+7 = x^2 - 8x + 16$ denklemini elde ederiz.
- 3. Adım: Denklemi Düzenleyerek İkinci Dereceden Denklem Haline Getirme
- Şimdi tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayarak standart bir ikinci dereceden denklem oluşturalım.
- $0 = x^2 - 8x - 2x + 16 - 7$
- $0 = x^2 - 10x + 9$
- 4. Adım: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
- $x^2 - 10x + 9 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $9$ ve toplamları $-10$ olan iki sayı $-1$ ve $-9$'dur.
- Bu durumda denklemi $(x-1)(x-9) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu denklemin iki olası çözümü vardır: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ veya $x-9=0 \Rightarrow x=9$.
- 5. Adım: Olası Çözümleri Kontrol Etme
- Bulduğumuz $x$ değerlerini başlangıçtaki kısıtlamalarımızla ($x \ge 4$) ve orijinal denklemle kontrol etmeliyiz.
- $x=1$ için kontrol:
- Kısıtlama: $x \ge 4$ koşulunu sağlamıyor ($1 \not\ge 4$). Bu yüzden $x=1$ bir "sahte kök"tür ( extraneous solution) ve çözüm kümesine dahil edilemez.
- Orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{2(1)+7} = 1-4 \Rightarrow \sqrt{9} = -3 \Rightarrow 3 = -3$. Bu ifade yanlıştır.
- $x=9$ için kontrol:
- Kısıtlama: $x \ge 4$ koşulunu sağlıyor ($9 \ge 4$).
- Orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{2(9)+7} = 9-4 \Rightarrow \sqrt{18+7} = 5 \Rightarrow \sqrt{25} = 5 \Rightarrow 5 = 5$. Bu ifade doğrudur.
- Bu durumda, denklemi sağlayan tek $x$ değeri $9$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
