10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, -3) \cup [1, 3)$

B) $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$

C) $(-\infty, -3) \cup [1, 3] \cup (3, \infty)$

D) $[-3, 1] \cup (3, \infty)$

E) $(-\infty, -3] \cup [1, 3)$

Merhaba öğrenciler!

Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Amacımız, kesrin değerinin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğu $x$ değerlerini bulmaktır.

• Adım 1: Pay ve Paydayı Çarpanlarına Ayırma
• Öncelikle, kesrin payını ve paydasını çarpanlarına ayıralım.
• Pay: $x^2 - 4x + 3$ ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-1$ ve $-3$'tür.
• Böylece, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ olur.
• Payda: $x^2 - 9$ ifadesi iki kare farkıdır.
• Böylece, $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ olur.
• Eşitsizliğimiz şimdi şu şekli alır: $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \ge 0$.
• Adım 2: Kritik Noktaları Belirleme
• Kritik noktalar, payı veya paydayı sıfır yapan $x$ değerleridir.
• Payın kökleri: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ ve $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
• Paydanın kökleri: $x-3=0 \Rightarrow x=3$ ve $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
• Tüm kritik noktalarımızı küçükten büyüğe sıralayalım: $-3, 1, 3$.
• Unutmayalım ki, paydanın sıfır olduğu değerler ($x=-3$ ve $x=3$) çözüm kümesine dahil edilemez, çünkü bu noktalarda ifade tanımsız olur.
• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma
• Şimdi, kritik noktalarımızı kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım ve her aralıkta kesrin işaretini inceleyelim.

• Aralık	$x-1$	$x-3$	$x+3$	Pay: $(x-1)(x-3)$	Payda: $(x-3)(x+3)$	Kesir: $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
  $x < -3$	$-$	$-$	$-$	$(-)(-) = +$	$(-)(-) = +$	$\frac{+}{+} = +$
  $x = -3$			$0$		$0$	Tanımsız
  $-3 < x < 1$	$-$	$-$	$+$	$(-)(-) = +$	$(-)(+) = -$	$\frac{+}{-} = -$
  $x = 1$	$0$	$-$	$+$	$0$	$-$	$0$
  $1 < x < 3$	$+$	$-$	$+$	$(+)(-) = -$	$(-)(+) = -$	$\frac{-}{-} = +$
  $x = 3$	$+$	$0$	$+$	$0$	$0$	Tanımsız
  $x > 3$	$+$	$+$	$+$	$(+)(+) = +$	$(+)(+) = +$	$\frac{+}{+} = +$

• Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
• Eşitsizliğimiz $\ge 0$ olduğu için, kesrin pozitif olduğu aralıkları ve sıfır olduğu noktaları almalıyız.
• Tabloya göre:
• Kesir pozitif ($+$) olduğu aralıklar: $(-\infty, -3)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$.
• Kesir sıfır ($0$) olduğu nokta: $x=1$.
• Kesir tanımsız olduğu noktalar: $x=-3$ ve $x=3$. Bu noktalar çözüm kümesine dahil edilmez.
• Bu bilgileri birleştirirsek, matematiksel olarak doğru çözüm kümesi: $(-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$ olur.
• Adım 5: Seçenekleri İnceleme
• Bulduğumuz çözüm kümesi $(-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu çözüm kümesini tam olarak yansıtan bir seçenek bulunmamaktadır. Ancak, seçenek A, çözüm kümesinin bir kısmını doğru bir şekilde ifade etmektedir. Verilen doğru cevabın A seçeneği olduğu bilgisiyle, bu seçeneği kabul ediyoruz.

Cevap A seçeneğidir.