10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

$d_1: x + 2y - 5 = 0$ ve $d_2: 2x - y + 10 = 0$ doğrularının kesişim noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-3, 4)$

B) $(-2, 3)$

C) $(1, 2)$

D) $(3, 1)$

E) $(4, -1)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün iki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. İki doğrunun kesişim noktası, her iki denklemi de aynı anda sağlayan $(x, y)$ koordinat çiftidir. Bu tür problemleri çözmek için genellikle denklem sistemlerini çözme yöntemlerini (yok etme veya yerine koyma) kullanırız.

• Adım 1: Doğru Denklemlerini Belirleyelim ve Düzenleyelim

  Bize verilen doğruların denklemleri şunlardır:

  • $d_1: x + 2y - 5 = 0$
  • $d_2: 2x - y + 10 = 0$

  Bu denklemleri, sabit terimleri eşitliğin diğer tarafına alarak daha kolay çözülebilir bir formata getirelim:

  • $d_1: x + 2y = 5$ (Denklem 1)
  • $d_2: 2x - y = -10$ (Denklem 2)
• Adım 2: Yok Etme Yöntemini Kullanarak Bir Değişkeni Bulalım

  Şimdi, $x$ veya $y$ değişkenlerinden birini yok etmek için denklemleri uygun sayılarla çarpıp toplayacağız. Burada $y$ değişkenini yok etmek daha kolay görünüyor, çünkü Denklem 1'de $2y$ ve Denklem 2'de $-y$ var. Denklem 2'yi $2$ ile çarparsak, $y$ terimleri birbirini götürecektir.

  • Denklem 1: $x + 2y = 5$
  • Denklem 2'yi $2$ ile çarpalım: $2 \times (2x - y) = 2 \times (-10) \implies 4x - 2y = -20$ (Denklem 3)

  Şimdi Denklem 1 ve Denklem 3'ü taraf tarafa toplayalım:

  $(x + 2y) + (4x - 2y) = 5 + (-20)$

  $x + 4x + 2y - 2y = 5 - 20$

  $5x = -15$

  Her iki tarafı $5$'e bölelim:

  $x = -3$

• Adım 3: Bulduğumuz Değişkeni Kullanarak Diğer Değişkeni Bulalım

  $x = -3$ değerini bulduk. Şimdi bu değeri Denklem 1 veya Denklem 2'den herhangi birine yerine koyarak $y$ değerini bulabiliriz. Denklem 1'i kullanalım, çünkü daha basit katsayılara sahip:

  $x + 2y = 5$

  $-3 + 2y = 5$

  $-3$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $2y = 5 + 3$

  $2y = 8$

  Her iki tarafı $2$'ye bölelim:

  $y = 4$

• Adım 4: Kesişim Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim

  Bulduğumuz $x$ ve $y$ değerleri, doğruların kesişim noktasının koordinatlarıdır.

  Kesişim noktası: $(x, y) = (-3, 4)$

Bu koordinatlar, seçeneklerdeki A şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap A seçeneğidir.