12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

$L = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^3 - 8}$ limitinin değeri kaçtır?

A) $0$

B) $1/6$

C) $1/4$

D) $1/3$

E) $1$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir limit sorusunu adım adım çözeceğiz. Limit sorularında ilk yapmamız gereken şey, $x$ değerini doğrudan fonksiyona yerine koymaktır. Eğer bir belirsizlik durumu (örneğin $0/0$ veya $\infty/\infty$) ile karşılaşırsak, fonksiyonu sadeleştirmek veya başka yöntemler kullanmak gerekir.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizliği Tespit Etme

  Öncelikle, $x=2$ değerini verilen fonksiyonda yerine koyalım:

  Pay: $x^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

  Payda: $x^3 - 8 = 2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

  Gördüğümüz gibi, $0/0$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, pay ve paydada $(x-2)$ çarpanının bulunduğunu gösterir ve bu çarpanları sadeleştirmemiz gerektiğini belirtir.

• Adım 2: Pay ve Paydayı Çarpanlarına Ayırma

  Şimdi pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

  • Pay: $x^2 - 4$ ifadesi iki kare farkıdır. Yani $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanabiliriz.
  • Bu durumda, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ olur.
  • Payda: $x^3 - 8$ ifadesi iki küp farkıdır. Yani $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ özdeşliğini kullanabiliriz.
  • Bu durumda, $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ olur.

• Adım 3: Fonksiyonu Sadeleştirme

  Çarpanlarına ayırdığımız ifadeleri limit denkleminde yerine yazalım:

  $L = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}$

  $x \to 2$ demek, $x$ değerinin $2$'ye çok yaklaştığı ama asla $2$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden $(x-2)$ ifadesi sıfır değildir ve pay ile paydadaki $(x-2)$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz:

  $L = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x^2 + 2x + 4}$

• Adım 4: Sadeleştirilmiş İfadeye Limiti Uygulama

  Şimdi sadeleştirilmiş ifadede $x=2$ değerini tekrar yerine koyabiliriz:

  Pay: $2+2 = 4$

  Payda: $2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

  Böylece limitin değeri:

  $L = \frac{4}{12}$

• Adım 5: Sonucu Sadeleştirme

  Elde ettiğimiz kesri sadeleştirelim:

  $L = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Bu durumda, limitin değeri $1/3$'tür.

Cevap D seçeneğidir.