Bir sınıftaki 5 öğrencinin matematik sınavından aldığı notlar: 70, 80, 90, 60, 100. Bu veri setinin standart sapması yaklaşık kaçtır?
A) 12.65
B) 14.14
C) 15.81
D) 17.32
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir veri setinin ne kadar yaygın olduğunu gösteren önemli bir istatistiksel ölçü olan standart sapmayı hesaplayacağız. Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar saptığını gösterir. Şimdi adım adım bu hesaplamayı yapalım:
- Adım 1: Veri Setinin Ortalamasını (Aritmetik Ortalama) Bulalım.
- Ortalama, tüm notların toplamının öğrenci sayısına bölünmesiyle bulunur.
- Notlar: 70, 80, 90, 60, 100
- Toplam Not: $70 + 80 + 90 + 60 + 100 = 400$
- Öğrenci Sayısı (n): 5
- Ortalama ($\bar{x}$): $400 / 5 = 80$
- Demek ki, öğrencilerin matematik notlarının ortalaması 80'dir.
- Adım 2: Her Bir Notun Ortalamadan Farkını Bulalım.
- Bu farklara "sapma" denir.
- $70 - 80 = -10$
- $80 - 80 = 0$
- $90 - 80 = 10$
- $60 - 80 = -20$
- $100 - 80 = 20$
- Adım 3: Bulduğumuz Farkların (Sapmaların) Karelerini Alalım.
- Kare alma işlemi, negatif değerleri pozitif yapar ve büyük sapmaları daha belirgin hale getirir.
- $(-10)^2 = 100$
- $(0)^2 = 0$
- $(10)^2 = 100$
- $(-20)^2 = 400$
- $(20)^2 = 400$
- Adım 4: Kareleri Alınan Farkları (Sapmaların Karelerini) Toplayalım.
- Bu toplama "kareler toplamı" denir.
- Kareler Toplamı: $100 + 0 + 100 + 400 + 400 = 1000$
- Adım 5: Varyansı Hesaplayalım.
- Varyans, kareler toplamının öğrenci sayısının bir eksiğine (n-1) bölünmesiyle bulunur. Bu, örneklem standart sapması için kullanılan bir yöntemdir.
- Öğrenci Sayısı (n) = 5, dolayısıyla $n-1 = 4$
- Varyans ($s^2$): $1000 / 4 = 250$
- Adım 6: Standart Sapmayı Hesaplayalım.
- Standart sapma, varyansın kareköküdür.
- Standart Sapma (s): $\sqrt{250}$
- Şimdi $\sqrt{250}$ değerini bulalım.
- $15^2 = 225$ ve $16^2 = 256$ olduğu için, $\sqrt{250}$ değeri 15 ile 16 arasında, 16'ya daha yakın bir değer olacaktır.
- Hesap makinesiyle veya tahminle, $\sqrt{250} \approx 15.811$ bulunur.
- Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek C'dir.
Cevap C seçeneğidir.
