Bir araştırmacı, sıcaklık değişimini \( T(x) = \ln(x + 2) + \frac{1}{x} \) fonksiyonu ile inceliyor. Bu fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş gerçek sayı aralığı nedir?
A) \( (-2, \infty) \)
B) \( (-2, 0) \cup (0, \infty) \)
C) \( (0, \infty) \)
D) \( [-2, \infty) \setminus \{0\} \)
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş gerçek sayı aralığını bulmak için, fonksiyonu oluşturan her bir parçanın kendi tanımlı olduğu aralıkları belirlemeli ve bu aralıkların kesişimini almalıyız. Verilen fonksiyon $ T(x) = \ln(x + 2) + \frac{1}{x} $ iki ana kısımdan oluşmaktadır:
- Birinci Kısım: $ \ln(x + 2) $
- Doğal logaritma fonksiyonu $ \ln(u) $, sadece argümanı $ u $ pozitif olduğunda tanımlıdır. Yani, $ u > 0 $ olmalıdır.
- Bu durumda, $ x + 2 > 0 $ olmalıdır.
- Eşitsizliği çözdüğümüzde $ x > -2 $ elde ederiz.
- Bu kısım için tanımlı olduğu aralık $ (-2, \infty) $ şeklindedir.
- İkinci Kısım: $ \frac{1}{x} $
- Bu ifade bir rasyonel ifadedir. Rasyonel ifadeler, paydaları sıfır olmadığında tanımlıdır.
- Bu durumda, $ x \neq 0 $ olmalıdır.
- Bu kısım için tanımlı olduğu aralık $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ şeklindedir.
- Tanım Kümesinin Kesişimi:
- $ T(x) $ fonksiyonunun tamamının tanımlı olabilmesi için, her iki kısmın da aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu nedenle, bulduğumuz aralıkların kesişimini almalıyız.
- Birinci kısmın tanım kümesi: $ (-2, \infty) $
- İkinci kısmın tanım kümesi: $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $
- Bu iki kümenin kesişimi, $ x > -2 $ ve $ x \neq 0 $ koşullarını aynı anda sağlayan tüm gerçek sayılardır.
- Sayı doğrusunda düşündüğümüzde, $ -2 $ 'den büyük tüm sayılar kümesinden $ 0 $ sayısını çıkarmamız gerekir.
- Bu da $ (-2, 0) \cup (0, \infty) $ aralığını verir.
Cevap B seçeneğidir.
