İfadesinin polinom olması için n kaç olmalıdır soru tipi Test 1

A(x) = (a-2)x^(a+3) + 4x² - 3x + 7 ifadesinin derecesi 2 olduğuna göre, a kaçtır?

A) -2
B) -1
C) 0
D) 1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle polinomların derecesi ile ilgili önemli bir soruyu adım adım çözeceğiz. Bir polinomun derecesi, o polinomdaki değişkenin en büyük üssüdür. Ancak bu üssün katsayısı sıfır olmamalıdır. Ayrıca, bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üslerinin doğal sayı (yani negatif olmayan tam sayı) olması gerektiğini unutmayalım.

• 1. Polinomu ve Derece Bilgisini Anlayalım:

  Bize verilen polinom $A(x) = (a-2)x^{a+3} + 4x^2 - 3x + 7$ şeklindedir. Polinomun derecesinin $2$ olduğu belirtilmiştir. Bu, $A(x)$ polinomundaki $x$'in en büyük üssünün $2$ olduğu ve bu $x^2$ teriminin katsayısının sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir.

• 2. Polinomdaki Terimleri ve Üsleri İnceleyelim:

  Polinomdaki terimler ve $x$'in üsleri şunlardır:

  • Birinci terim: $(a-2)x^{a+3}$ (Üs: $a+3$)
  • İkinci terim: $4x^2$ (Üs: $2$)
  • Üçüncü terim: $-3x$ (Üs: $1$)
  • Dördüncü terim: $7$ (Üs: $0$, çünkü $7 = 7x^0$)

  Polinomun derecesi $2$ olduğuna göre, $a+3$ üssü $2$'den büyük olamaz, aksi takdirde $A(x)$'in derecesi $2$'den farklı olurdu. Ancak, eğer $a+3$ üssü $2$'den büyükse, o terimin katsayısı olan $(a-2)$'nin sıfır olması gerekir. Ayrıca, $a+3$ bir doğal sayı olmalıdır ($a+3 \ge 0$).

• 3. Seçenekleri Tek Tek Değerlendirelim:

  Şimdi verilen seçeneklerdeki $a$ değerlerini yerine koyarak polinomun derecesini kontrol edelim:

  • A) $a = -2$ için:

    $a=-2$ değerini $a+3$ üssünde yerine koyarsak: $a+3 = -2+3 = 1$.

    Polinom şu hale gelir: $A(x) = (-2-2)x^{1} + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = -4x + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = 4x^2 - 7x + 7$

    Bu polinomun en yüksek üssü $2$'dir ve $x^2$'nin katsayısı $4$ (sıfırdan farklı) olduğu için derecesi $2$'dir. Yani $a=-2$ de doğru bir cevap olabilir.

  • B) $a = -1$ için:

    $a=-1$ değerini $a+3$ üssünde yerine koyarsak: $a+3 = -1+3 = 2$.

    Polinom şu hale gelir: $A(x) = (-1-2)x^{2} + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = -3x^2 + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = (-3+4)x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = 1x^2 - 3x + 7$

    Bu polinomun en yüksek üssü $2$'dir ve $x^2$'nin katsayısı $1$ (sıfırdan farklı) olduğu için derecesi $2$'dir. Bu da doğru bir cevaptır.

  • C) $a = 0$ için:

    $a=0$ değerini $a+3$ üssünde yerine koyarsak: $a+3 = 0+3 = 3$.

    Polinom şu hale gelir: $A(x) = (0-2)x^{3} + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = -2x^3 + 4x^2 - 3x + 7$

    Bu polinomun en yüksek üssü $3$'tür ve $x^3$'ün katsayısı $-2$ (sıfırdan farklı) olduğu için derecesi $3$'tür. Bu, soruda verilen derece $2$ bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla $a=0$ doğru cevap değildir.

  • D) $a = 1$ için:

    $a=1$ değerini $a+3$ üssünde yerine koyarsak: $a+3 = 1+3 = 4$.

    Polinom şu hale gelir: $A(x) = (1-2)x^{4} + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = -1x^4 + 4x^2 - 3x + 7$

    $A(x) = -x^4 + 4x^2 - 3x + 7$

    Bu polinomun en yüksek üssü $4$'tür ve $x^4$'ün katsayısı $-1$ (sıfırdan farklı) olduğu için derecesi $4$'tür. Bu da soruda verilen derece $2$ bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla $a=1$ doğru cevap değildir.

• 4. Sonucu Belirleyelim:

  Gördüğümüz gibi, hem $a=-2$ hem de $a=-1$ değerleri polinomun derecesini $2$ yapmaktadır. Ancak çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir doğru cevap beklenir ve bu tür durumlarda, değişken içeren terimin üssünün doğrudan istenen dereceye eşit olduğu durum (yani $a+3=2$ durumu) genellikle kastedilir.

  Bu durumda, $a+3=2$ eşitliğinden $a=-1$ bulunur. Bu değer, $x^{a+3}$ terimini $x^2$ terimine dönüştürür ve polinomun derecesini $2$ yapar.

Cevap B seçeneğidir.