Bir öğrenci $\sqrt{-25}$ ifadesini 5 olarak hesaplamıştır. Bu durum için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Öğrencinin cevabı doğrudurBu soruda, bir öğrencinin $\sqrt{-25}$ ifadesini 5 olarak hesaplaması durumunu inceliyoruz. Bakalım bu hesaplamada ne gibi bir hata yapılmış veya hangi durum doğru açıklıyor.
Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değerdir. Örneğin, $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5 \times 5 = 25$. Ayrıca, $(-5) \times (-5) = 25$ olduğu için $\sqrt{25}$'in bir diğer değeri de $-5$'tir. Ancak, genellikle "ana karekök" olarak pozitif değer ($5$) kabul edilir.
Şimdi $\sqrt{-25}$ ifadesine odaklanalım. Reel sayılar kümesinde (yani günlük hayatta kullandığımız sayılarla), hiçbir sayının karesi negatif olamaz. Çünkü:
Pozitif bir sayının karesi pozitiftir (örneğin, $3^2 = 9$).
Negatif bir sayının karesi de pozitiftir (örneğin, $(-3)^2 = 9$).
Sıfırın karesi sıfırdır ($0^2 = 0$).
Bu durumda, reel sayılar kümesinde karesi $-25$ olan bir sayı yoktur. Yani $\sqrt{-25}$ ifadesi reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.
Öğrenci $\sqrt{-25}$ ifadesini 5 olarak hesaplamış. Eğer $\sqrt{-25} = 5$ olsaydı, $5 \times 5 = -25$ olması gerekirdi. Ancak $5 \times 5 = 25$'tir. Bu da öğrencinin cevabının yanlış olduğunu gösterir. Öğrenci muhtemelen eksi işaretini göz ardı ederek $\sqrt{25}$'i hesaplamış gibi davranmıştır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) Öğrencinin cevabı doğrudur: Bu doğru değildir, çünkü $5^2 = 25$, $-25$ değil.
B) Öğrenci pozitif karekök almıştır: Öğrenci 5 gibi pozitif bir sayı bulmuş olsa da, hatanın temel nedeni pozitif karekök almak değil, negatif bir sayının karekökünü reel bir sayı olarak kabul etmesidir. Bu seçenek, hatanın ana nedenini tam olarak açıklamaz.
C) Öğrenci negatif sayının karekökünü reel sayı olarak bulmuştur: İşte bu ifade, öğrencinin yaptığı hatayı en doğru şekilde açıklar. Öğrenci, reel sayılar kümesinde tanımlı olmayan $\sqrt{-25}$ ifadesi için 5 gibi bir reel sayı sonucu bulmuştur. Negatif sayıların karekökleri reel sayılar değildir.
D) Öğrenci karmaşık sayılar kümesinde işlem yapmıştır: Karmaşık sayılar kümesinde, $\sqrt{-1}$'e $i$ (sanal birim) denir. Bu durumda $\sqrt{-25} = \sqrt{25 \times -1} = \sqrt{25} \times \sqrt{-1} = 5i$ olurdu. Öğrenci 5 sonucunu bulduğuna göre, karmaşık sayılar kümesinde doğru bir işlem yapmamıştır. Eğer karmaşık sayılar kümesinde doğru işlem yapsaydı, cevabı $5i$ olurdu.
Özetle, öğrencinin yaptığı hata, negatif bir sayının karekökünü reel sayılar kümesinde bir sonuç olarak kabul etmesidir.
Cevap C seçeneğidir.
