Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, verilen bir bağıntıdan $ \frac{dy}{dx} $ ifadesini bulmayı öğreneceğiz. Bu tür problemlerde, 'kapalı türev' (implicit differentiation) adı verilen bir yöntem kullanırız. Hadi adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Verilen Bağıntıyı Anlama
- Bize $ x^2 + y^2 = 25 $ bağıntısı verilmiş. Bu bağıntı, $y$'yi $x$'in açık bir fonksiyonu olarak ifade etmese de, $y$'nin $x$'e bağlı olduğunu gösterir. Amacımız, $y$'nin $x$'e göre türevini, yani $ \frac{dy}{dx} $'i bulmaktır.
- Adım 2: Her İki Tarafın $x$'e Göre Türevini Alma
- Kapalı türev yönteminde, denklemin her iki tarafının $x$'e göre türevini alırız. $y$'nin $x$'in bir fonksiyonu olduğunu unutmayarak zincir kuralını uygulayacağız.
- Denklemimiz: $ x^2 + y^2 = 25 $
- Şimdi her terimin $x$'e göre türevini alalım:
- $ \frac{d}{dx}(x^2) $: $x^2$'nin $x$'e göre türevi $ 2x $ olur.
- $ \frac{d}{dx}(y^2) $: Burada zincir kuralını uyguluyoruz. Önce $y^2$'nin $y$'ye göre türevini alırız ($ 2y $), sonra bunu $y$'nin $x$'e göre türevi ($ \frac{dy}{dx} $) ile çarparız. Yani $ 2y \cdot \frac{dy}{dx} $ olur.
- $ \frac{d}{dx}(25) $: Sabit bir sayının türevi her zaman $0$'dır.
- Adım 3: Türevleri Birleştirme
- Yukarıdaki türevleri bir araya getirdiğimizde yeni denklemimiz şu şekilde olur:
- $ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 $
- Adım 4: $ \frac{dy}{dx} $ İfadesini Yalnız Bırakma
- Şimdi amacımız $ \frac{dy}{dx} $'i denklemin bir tarafında yalnız bırakmaktır.
- Önce $ 2x $ terimini denklemin sağ tarafına atalım:
- $ 2y \frac{dy}{dx} = -2x $
- Şimdi $ \frac{dy}{dx} $'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $ 2y $ ile bölelim:
- $ \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} $
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme
- Denklemdeki $2$'leri sadeleştirebiliriz:
- $ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $
Böylece $ \frac{dy}{dx} $ ifadesini bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
