10. Sınıf Bir Doğal Sayı ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Test 1

Bir bilgisayar programı, girilen bir doğal sayının asal çarpanlarını kullanarak bir 'güç değeri' hesaplamaktadır. Programın adımları şöyledir:
1. Sayıyı asal çarpanlarına ayır. (Örnek: $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$)
2. Her bir asal çarpanın kuvvetini, o asal çarpanın kendisiyle çarp. (Örnek: $p_1^{a_1} \to a_1 \cdot p_1$)
3. Elde edilen tüm değerleri topla. Bu toplam, sayının 'güç değeri'dir. (Örnek: $12 = 2^2 \cdot 3^1$ için güç değeri $2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 4 + 3 = 7$ olur.)
Buna göre, güç değeri 10 olan iki basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?

A) 30
B) 32
C) 36
D) 40

Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek, güç değeri kavramını ve asal çarpanlara ayırmayı daha iyi anlayacağız. Hazırsanız başlayalım!

Öncelikle soruyu dikkatlice okuyalım ve ne istediğini anlamaya çalışalım. Bizden istenen, güç değeri 10 olan iki basamaklı en büyük doğal sayıyı bulmak.

• Adım 1: İki basamaklı en büyük sayıdan başlayarak, sayıları asal çarpanlarına ayırıp güç değerlerini hesaplayalım.
• Adım 2: Şıklardan gidelim ve verilen sayıların güç değerlerini bulalım.

A) 30 sayısını inceleyelim:

• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
• Güç değeri: $(1 \cdot 2) + (1 \cdot 3) + (1 \cdot 5) = 2 + 3 + 5 = 10$ olur.

B) 32 sayısını inceleyelim:

• $32 = 2^5$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
• Güç değeri: $5 \cdot 2 = 10$ olur.

C) 36 sayısını inceleyelim:

• $36 = 2^2 \cdot 3^2$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
• Güç değeri: $(2 \cdot 2) + (2 \cdot 3) = 4 + 6 = 10$ olur.

D) 40 sayısını inceleyelim:

• $40 = 2^3 \cdot 5$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
• Güç değeri: $(3 \cdot 2) + (1 \cdot 5) = 6 + 5 = 11$ olur.

Şimdi bulduğumuz sonuçları değerlendirelim. A, B ve C şıklarındaki sayıların güç değeri 10'dur. Bizden istenen, güç değeri 10 olan iki basamaklı en büyük doğal sayı olduğu için, bu üç sayıdan en büyüğünü seçmeliyiz. 30, 32 ve 36 sayılarından en büyüğü 36'dır.

Cevap C seçeneğidir.