Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek, bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Adım 1: Türevi Bulma
- Öncelikle verilen fonksiyonun türevini almamız gerekiyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
- Zincir kuralını kullanarak türevi alalım: $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.
Adım 2: Türevin İşaretini İnceleme
- Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulmak için, türevinin negatif olduğu aralıkları bulmamız gerekir. Yani $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
- $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} < 0$ eşitsizliğinde, $x^2 + 1$ her zaman pozitiftir (çünkü $x^2$ her zaman pozitif veya sıfırdır ve 1 eklediğimizde kesinlikle pozitif olur).
- Bu durumda, $f'(x)$'in işaretini belirleyen tek faktör $2x$'tir. Yani $2x < 0$ olmalıdır.
- $2x < 0$ ise, $x < 0$ demektir.
Adım 3: Azalan Aralığı Belirleme
- $x < 0$ koşulunu sağlayan aralık, $(-\infty, 0)$ aralığıdır.
- Bu aralıkta $f'(x) < 0$ olduğundan, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
Sonuç
Dolayısıyla, $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralık $(-\infty, 0)$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
