Bir $ABC$ üçgeninde $AB$ kenarının uzunluğu $8$ birim, $AC$ kenarının uzunluğu $10$ birimdir. $A$ köşesindeki iç açının ölçüsü $\alpha$ olmak üzere, üçgenin alanı $20\sqrt{3}$ birimkaredir. Buna göre, $\alpha$ açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) $30^\circ$
B) $45^\circ$
C) $60^\circ$
D) $90^\circ$
İşte bu soruyu adım adım çözümü:
Üçgenin alan formülünü hatırlayalım: Alan $= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, burada $a$ ve $b$ kenar uzunlukları, $\alpha$ ise bu kenarlar arasındaki açıdır.
* **Adım 1: Verilenleri Yerine Koyma**
Bize verilenleri formülde yerine yazalım:
$20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(\alpha)$
* **Adım 2: Denklemi Sadeleştirme**
Denklemi sadeleştirelim:
$20\sqrt{3} = 40 \cdot \sin(\alpha)$
* **Adım 3: $\sin(\alpha)$'yı Bulma**
$\sin(\alpha)$'yı yalnız bırakmak için her iki tarafı 40'a bölelim:
$\sin(\alpha) = \frac{20\sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* **Adım 4: $\alpha$ Açısını Bulma**
$\sin$ değeri $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olan açıyı bulmalıyız. Trigonometri bilgisinden $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz.
Yani, $\alpha = 60^\circ$
Cevap C seçeneğidir.
