Basit harmonik harekette konum, hız, ivme Test 1

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum, hız ve ivme vektörleri arasındaki faz farklarıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Hız ve ivme aynı fazdadır
B) Konum ve hız arasında 90° faz farkı vardır
C) Konum ve ivme arasında 180° faz farkı vardır
D) Hız ve ivme arasında 90° faz farkı vardır

Basit harmonik hareket (BHH) yapan bir cismin konum, hız ve ivme vektörleri arasındaki faz farklarını anlamak için, bu büyüklüklerin zamana bağlı denklemlerini inceleyelim. Genellikle, konum denklemi bir sinüs veya kosinüs fonksiyonu olarak ifade edilir. Biz burada kosinüs fonksiyonunu kullanalım:

• Konum ($x(t)$): Bir cismin basit harmonik hareketteki konumu genellikle şu şekilde ifade edilir: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ Burada $A$ genlik, $\omega$ açısal frekans ve $\phi$ başlangıç fazıdır.
• Hız ($v(t)$): Hız, konumun zamana göre birinci türevidir: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak ($\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ veya $-\sin(\theta) = \cos(\theta + \frac{\pi}{2})$), hız denklemini şu şekilde yazabiliriz: $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$
• İvme ($a(t)$): İvme, hızın zamana göre birinci türevi veya konumun zamana göre ikinci türevidir: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$ Yine trigonometrik özdeşlikleri kullanarak ($-\cos(\theta) = \cos(\theta + \pi)$), ivme denklemini şu şekilde yazabiliriz: $a(t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \phi + \pi)$ Ayrıca, ivmenin konumla ilişkisi $a(t) = -\omega^2 x(t)$ şeklindedir.

Şimdi bu denklemleri kullanarak seçenekleri değerlendirelim:

• A) Hız ve ivme aynı fazdadır

  Hız denklemi: $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$

  İvme denklemi: $a(t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \phi + \pi)$

  Hız ve ivme arasındaki faz farkı $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ radyan veya $90^\circ$'dir. Dolayısıyla, hız ve ivme aynı fazda değildir.

  Bu ifade yanlıştır.

• B) Konum ve hız arasında 90° faz farkı vardır

  Konum denklemi: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

  Hız denklemi: $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$

  Konum ve hız arasındaki faz farkı $(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + \phi) = \frac{\pi}{2}$ radyan veya $90^\circ$'dir. Hız, konumu $90^\circ$ öndedir.

  Bu ifade doğrudur.

• C) Konum ve ivme arasında 180° faz farkı vardır

  Konum denklemi: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

  İvme denklemi: $a(t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \phi + \pi)$

  Konum ve ivme arasındaki faz farkı $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi) = \pi$ radyan veya $180^\circ$'dir. İvme, konumu $180^\circ$ öndedir (veya zıt fazdadır). Bu durum, $a(t) = -\omega^2 x(t)$ ilişkisinden de açıkça görülür.

  Bu ifade de doğrudur.

• D) Hız ve ivme arasında 90° faz farkı vardır

  Hız denklemi: $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$

  İvme denklemi: $a(t) = A\omega^2 \cos(\omega t + \phi + \pi)$

  Hız ve ivme arasındaki faz farkı $(\omega t + \phi + \pi) - (\omega t + \phi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ radyan veya $90^\circ$'dir. İvme, hızı $90^\circ$ öndedir.

  Bu ifade de doğrudur.

Yukarıdaki analizde B, C ve D seçeneklerinin hepsi basit harmonik hareket için doğru ifadelerdir. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir doğru cevap beklenir. Sorunun yapısı gereği, seçeneklerden biri doğru kabul edilmelidir. Verilen doğru cevap B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.