İç içe kökler formülü Test 1

2. \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\) ifadesinin değeri kaçtır?

A) \(2 + \sqrt{3}\)
B) \(\sqrt{3} + 1\)
C) \(3 - \sqrt{2}\)
D) \(2\sqrt{3} + 1\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, köklü sayılarla ilgili oldukça sık karşımıza çıkan ve belirli bir yöntemi olan güzel bir soruyu adım adım çözeceğiz. Amacımız, iç içe köklü ifadeleri nasıl basitleştireceğimizi öğrenmek.

Sorumuz: $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} $ ifadesinin değeri kaçtır?

• Adım 1: İç İçe Köklü İfadeleri Tanıma

Verilen ifade $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} $ şeklinde bir iç içe köklü ifadedir. Bu tür ifadeleri basitleştirmek için genellikle $ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} $ formülünü kullanırız. Bu formülde $x$ ve $y$ sayıları, toplamları $a$'yı ve çarpımları $b$'yi veren sayılardır.

• Adım 2: İfadeyi Formüle Uygun Hale Getirme

Bizim ifademiz $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} $. Formülü kullanabilmek için iç kökün önündeki sayının $2$ olması gerekiyor. Şu an $4$ var. $4$'ü $2 \cdot 2$ olarak yazabiliriz. İçerideki $2$'yi kökün içine alırken karesini alarak sokarız ($2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$).

İfadeyi düzenleyelim:

• $ 4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} $
• $ = 2\sqrt{2^2 \cdot 3} $
• $ = 2\sqrt{4 \cdot 3} $
• $ = 2\sqrt{12} $

Şimdi ifademiz $ \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} $ şeklini aldı. Artık formülü uygulamaya hazırız!

• Adım 3: $x$ ve $y$ Sayılarını Bulma

Formülümüz $ \sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} $ idi. Burada $a=7$ ve $b=12$.

Bizim $x$ ve $y$ sayılarını bulmamız gerekiyor ki:

• $x + y = a \implies x + y = 7$
• $x \cdot y = b \implies x \cdot y = 12$

Çarpımları $12$ olan ve toplamları $7$ olan iki sayı arıyoruz. $12$'nin çarpanlarını düşünelim:

• $1 \times 12 = 12$, $1 + 12 = 13$ (Uygun değil)
• $2 \times 6 = 12$, $2 + 6 = 8$ (Uygun değil)
• $3 \times 4 = 12$, $3 + 4 = 7$ (İşte bu! Uygun sayılar $3$ ve $4$!)

Demek ki $x=4$ ve $y=3$ (veya $x=3$, $y=4$; fark etmez).

• Adım 4: İfadeyi Basitleştirme

Bulduğumuz $x$ ve $y$ değerlerini formülde yerine koyalım:

• $ \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} $

Şimdi kökleri hesaplayalım:

• $ \sqrt{4} = 2 $

O halde ifadenin basitleşmiş hali:

• $ 2 + \sqrt{3} $
• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz sonuç $2 + \sqrt{3}$'tür. Seçeneklere baktığımızda:

• A) $2 + \sqrt{3}$
• B) $\sqrt{3} + 1$
• C) $3 - \sqrt{2}$
• D) $2\sqrt{3} + 1$

Sonucumuz A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.