9. \(\sqrt{20 + 8\sqrt{6}}\) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\)Bu soruda, iç içe köklü bir ifadeyi sadeleştirmemiz isteniyor. Bu tür ifadeleri sadeleştirmek için genellikle kökün içindeki ifadeyi bir tam kare şeklinde yazmaya çalışırız. Yani, $\sqrt{A + B\sqrt{C}}$ şeklindeki bir ifadeyi $\sqrt{(x+y)^2}$ formuna dönüştürmeyi hedefleriz.
Verilen ifade $\sqrt{20 + 8\sqrt{6}}$ şeklindedir. Amacımız, bu ifadeyi $\sqrt{(x+y)^2}$ şeklinde yazarak kökten kurtarmaktır. Çünkü $\sqrt{(x+y)^2} = x+y$ olacaktır.
$(x+y)^2$ tam kare açılımı $x^2 + y^2 + 2xy$ şeklindedir.
Bizim ifademiz $\sqrt{20 + 8\sqrt{6}}$ olduğuna göre, kökün içindeki $20 + 8\sqrt{6}$ ifadesini $x^2 + y^2 + 2xy$ formuna benzetmeye çalışacağız.
Şimdi $20 + 8\sqrt{6}$ ifadesindeki terimleri $x^2 + y^2 + 2xy$ ile eşleştirelim:
Sabit terimler: $x^2 + y^2 = 20$
Köklü terimler: $2xy = 8\sqrt{6}$
$2xy = 8\sqrt{6}$ eşitliğinden $xy = 4\sqrt{6}$ elde ederiz. Şimdi $x$ ve $y$ değerlerini bulmak için $x^2 + y^2 = 20$ ve $xy = 4\sqrt{6}$ denklemlerini kullanacağız.
Eğer $x$ ve $y$ birer köklü sayı ise, $x^2$ ve $y^2$ birer tam sayı olacaktır. Bu durumda, $x^2$ ve $y^2$ toplamı $20$ olan ve çarpımı $(4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96$ olan iki sayı olmalıdır.
Çarpımları $96$ olan ve toplamları $20$ olan iki sayıyı arıyoruz. Bu sayılar $12$ ve $8$'dir. ($12 \cdot 8 = 96$ ve $12 + 8 = 20$).
O halde, $x^2 = 12$ ve $y^2 = 8$ (veya tersi) diyebiliriz.
Buradan $x = \sqrt{12}$ ve $y = \sqrt{8}$ bulunur.
Bulduğumuz $x$ ve $y$ değerlerini kullanarak orijinal ifadeyi yazalım:
$\sqrt{20 + 8\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{12} + \sqrt{8})^2}$
Kök dışına çıkarırsak:
$\sqrt{12} + \sqrt{8}$
Şimdi $\sqrt{12}$ ve $\sqrt{8}$ ifadelerini sadeleştirelim:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Bu sadeleşmiş hallerini toplarsak:
$2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
