$P = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 5\}$ ve $Q = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1\}$ kümeleri veriliyor. $(P \cap Q)'$ (P kesişim Q kümesinin tümleyenini) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (Evrensel küme $\mathbb{R}$ olarak kabul edilecektir.)
A) $(-\infty, -1) \cup [5, \infty)$
B) $[-1, 5)$
C) $(-\infty, -1] \cup (5, \infty)$
D) $(-1, 5]$
Bu soruyu adım adım çözerek $(P \cap Q)'$ kümesini bulalım.
- Adım 1: $P$ ve $Q$ kümelerini anlamak.
- $P$ kümesi, 5'ten küçük tüm reel sayıları içerir: $P = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 5\} = (-\infty, 5)$.
- $Q$ kümesi, -1'e eşit veya -1'den büyük tüm reel sayıları içerir: $Q = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1\} = [-1, \infty)$.
- Adım 2: $P \cap Q$ (P kesişim Q) kümesini bulmak.
- $P \cap Q$, hem $P$ kümesinde hem de $Q$ kümesinde bulunan elemanların kümesidir. Yani, hem $x < 5$ hem de $x \ge -1$ koşulunu sağlayan $x$ değerleri.
- Bu durumda, $P \cap Q = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x < 5\} = [-1, 5)$.
- Adım 3: $(P \cap Q)'$ (P kesişim Q'nun tümleyeni) kümesini bulmak.
- $(P \cap Q)'$, evrensel küme olan $\mathbb{R}$'den $P \cap Q$ kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir. Başka bir deyişle, $P \cap Q$ kümesinde olmayan tüm reel sayılar.
- $P \cap Q = [-1, 5)$ olduğundan, $(P \cap Q)' = \mathbb{R} - [-1, 5) = (-\infty, -1) \cup [5, \infty)$.
Dolayısıyla, $(P \cap Q)' = (-\infty, -1) \cup [5, \infty)$ olur.
Cevap A seçeneğidir.
