$A = (-4, 6]$, $B = [2, 10)$ ve $C = (-1, 3]$ aralıkları veriliyor. $(A \cup C) \cap B$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[2, 3]$
B) $(-4, 10)$
C) $[2, 6]$
D) $(-1, 6]$
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen aralıkların ne anlama geldiğini ve kümeler üzerinde birleşim ($A \cup C$) ve kesişim ($A \cap B$) işlemlerinin nasıl yapıldığını hatırlayalım.
- Aralık Gösterimi:
- Parantez "( )", aralığın sınır değerinin kümeye dahil olmadığını gösterir.
- Köşeli parantez "[ ]", aralığın sınır değerinin kümeye dahil olduğunu gösterir.
- Birleşim ($A \cup C$): A ve C kümelerindeki tüm elemanları içeren kümedir.
- Kesişim ($A \cap B$): A ve B kümelerinin ortak elemanlarını içeren kümedir.
Şimdi adım adım soruyu çözelim:
- 1. Adım: A ve C kümelerinin birleşimini bulalım ($A \cup C$).
- $A = (-4, 6]$: -4 dahil değil, 6 dahil.
- $C = (-1, 3]$: -1 dahil değil, 3 dahil.
- $A \cup C = (-4, 6]$: Bu aralık, -4'ten büyük tüm sayıları ve 6'ya kadar olan (6 dahil) tüm sayıları içerir, çünkü C kümesi A kümesinin içinde kalıyor. Bu yüzden A'nın sınırları birleşim kümesinin sınırları olacaktır.
- 2. Adım: Bulduğumuz birleşim kümesi ile B kümesinin kesişimini bulalım $((A \cup C) \cap B)$.
- $A \cup C = (-4, 6]$
- $B = [2, 10)$: 2 dahil, 10 dahil değil.
- $(A \cup C) \cap B = [2, 6]$: Bu kesişim, hem $(-4, 6]$ aralığında hem de $[2, 10)$ aralığında bulunan elemanları içerir. Bu durumda, kesişim aralığı 2'den 6'ya kadar olan (2 ve 6 dahil) tüm sayıları içerir.
Bu durumda, $(A \cup C) \cap B$ işleminin sonucu $[2, 6]$ aralığıdır.
Cevap C seçeneğidir.
