C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ kuralı Test 1

Bir sınıftaki öğrencilerden en az birinin seçileceği kaç farklı seçim yapılabilir? (Sınıf mevcudu: n)

A) 2ⁿ - 1
B) 2ⁿ
C) 2ⁿ + 1
D) n²

Bu problem, kombinasyon ve seçim prensipleriyle ilgilidir. Bir gruptan belirli koşullara göre kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Problemi Anlamak

  Sınıfta $n$ tane öğrenci var. Bizden istenen, bu öğrencilerden en az birinin seçileceği kaç farklı grup oluşturulabileceğidir. "En az bir" demek, 1 öğrenci, 2 öğrenci, ..., $n$ öğrenci seçilebilir demektir. Yani, hiçbir öğrencinin seçilmediği durumu dışarıda bırakmalıyız.

• Adım 2: Her Bir Öğrenci İçin Seçenekleri Belirlemek

  Sınıftaki her bir öğrenci için iki farklı durum söz konusudur: Öğrenci seçilir veya öğrenci seçilmez. Bu, her öğrenci için 2 seçeneğimiz olduğu anlamına gelir.

• Adım 3: Tüm Olası Seçimlerin Sayısını Hesaplamak (Koşulsuz)

  Eğer hiçbir kısıtlama olmasaydı ve her öğrenci için "seçilir" veya "seçilmez" durumlarını bağımsız olarak değerlendirseydik, toplamda kaç farklı seçim yapabilirdik? Her öğrenci için 2 seçenek olduğundan (1. öğrenci için 2, 2. öğrenci için 2, ..., $n$. öğrenci için 2), bu seçeneklerin çarpımı bize tüm olası seçimlerin sayısını verir. Yani, $2 \times 2 \times ... \times 2$ ($n$ defa) = $2^n$ farklı seçim yapılabilir.

  Bu $2^n$ seçimin içine, hiçbir öğrencinin seçilmediği (yani boş küme) durumu da dahildir.

• Adım 4: İstenmeyen Durumu Belirlemek ve Çıkarmak

  Soru bizden "en az birinin seçileceği" durumları istediği için, yukarıda bulduğumuz $2^n$ durumun içindeki "hiçbir öğrencinin seçilmediği" durumu çıkarmamız gerekir. Hiçbir öğrencinin seçilmediği sadece bir durum vardır (boş küme).

  Dolayısıyla, istenen durumların sayısı:

  Toplam durum sayısı - (Hiçbir öğrencinin seçilmediği durum sayısı)

  $2^n - 1$

• Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırmak

  Bulduğumuz sonuç $2^n - 1$ şeklindedir. Bu ifade, verilen seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.