f(x) = (x² + 1)/(x - 1) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sadece düşey asimptotu vardır
B) Sadece yatay asimptotu vardır
C) Hem düşey hem eğik asimptotu vardır
D) Hiç asimptotu yoktur
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek asimptot kavramını daha iyi anlamanızı sağlayacağım.
Öncelikle asimptot nedir, onu hatırlayalım: Bir fonksiyonun grafiğinin sonsuza giderken yaklaştığı ama asla kesmediği doğrulardır. Üç tür asimptot vardır: düşey, yatay ve eğik.
- Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan değerlerde oluşur. Yani, fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda.
- Yatay Asimptot: $x$ sonsuza giderken fonksiyonun yaklaştığı yatay doğrudur.
- Eğik Asimptot: Payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olduğunda ortaya çıkar. Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını bir doğru şeklinde gösterir.
Şimdi sorudaki fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$
- Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan $x$ değeri $x - 1 = 0$ denkleminden $x = 1$ olarak bulunur. Dolayısıyla $x = 1$ doğrusu düşey asimptottur.
- Yatay Asimptot: Payın derecesi (2), paydanın derecesinden (1) büyük olduğu için yatay asimptot yoktur. Yatay asimptotun olması için payın derecesi paydanın derecesine eşit veya daha küçük olmalıydı.
- Eğik Asimptot: Payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak 1 fazla olduğu için eğik asimptot vardır. Eğik asimptotu bulmak için polinom bölmesi yaparız:
$x^2 + 1$'i $x - 1$'e böldüğümüzde bölüm $x + 1$ ve kalan $2$ olur. Yani:
$\frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$
$x$ sonsuza giderken $\frac{2}{x - 1}$ terimi sıfıra yaklaşır. Bu durumda fonksiyon $y = x + 1$ doğrusuna yaklaşır. Bu doğru eğik asimptottur.
Sonuç olarak, fonksiyonun hem düşey ($x=1$) hem de eğik ($y=x+1$) asimptotu vardır.
Cevap C seçeneğidir.
