10. Sınıf İç Açıortay Teoremi Test 2

ABC üçgeninde [AN] açıortay, |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm, |BC| = 14 cm'dir. Buna göre |BN| kaç cm'dir?

A) 6
B) 7
C) 8,4
D) 9,6

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgende açıortay teoremini kullanarak bilinmeyen kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim
• Bize bir ABC üçgeni verilmiş.
• [AN] doğru parçası, A köşesindeki açının açıortayıdır. Bu bilgi çok önemlidir!
• Kenar uzunlukları: $|AB| = 12$ cm, $|AC| = 8$ cm, $|BC| = 14$ cm.
• Bizden istenen $|BN|$ uzunluğudur.
• 2. Adım: Hangi Teoremi Kullanacağımızı Belirleyelim
• Bir üçgende bir köşeden çıkan açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Bu teorem, Açıortay Teoremi olarak bilinir.
• Açıortay Teoremi'ne göre, [AN] açıortay olduğu için, karşı kenar BC'yi böldüğü oran, diğer kenarlar AB ve AC'nin oranına eşittir. Yani:
• $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$
• 3. Adım: Bilinmeyenleri Tanımlayalım
• Bizden $|BN|$ uzunluğu isteniyor. Buna $x$ diyelim. Yani $|BN| = x$.
• BC kenarının tamamı $14$ cm olduğuna göre, $|NC|$ uzunluğu $|BC| - |BN|$ olacaktır.
• Yani $|NC| = 14 - x$.
• 4. Adım: Teoremi Uygulayalım ve Denklemi Kuralım
• Şimdi bulduğumuz değerleri ve verilen kenar uzunluklarını Açıortay Teoremi formülüne yerleştirelim:
• $\frac{x}{14 - x} = \frac{12}{8}$
• 5. Adım: Denklemi Çözelim
• Öncelikle denklemin sağ tarafındaki oranı sadeleştirelim:
• $\frac{12}{8} = \frac{3 \times 4}{2 \times 4} = \frac{3}{2}$
• Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
• $\frac{x}{14 - x} = \frac{3}{2}$
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
• $2 \times x = 3 \times (14 - x)$
• $2x = 42 - 3x$
• $-3x$'i denklemin sol tarafına $+3x$ olarak geçirelim:
• $2x + 3x = 42$
• $5x = 42$
• Her iki tarafı $5$'e bölelim:
• $x = \frac{42}{5}$
• $x = 8.4$
• 6. Adım: Sonucu Belirleyelim
• Bulduğumuz $x$ değeri, $|BN|$ uzunluğudur. Yani $|BN| = 8.4$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.