Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugünkü sorumuz, matematikteki temel kavramlardan biri olan "birim eleman" (ya da diğer adıyla "etkisiz eleman") ile ilgili. Özellikle tam sayılar kümesinde toplama işlemi için bu elemanı bulmaya çalışacağız.
Öncelikle, birim elemanın ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Bir işlemde birim eleman, o işlemde kendisiyle işleme giren diğer elemanı değiştirmeyen, yani sonucun diğer elemanın kendisine eşit olmasını sağlayan özel bir elemandır.
- Matematiksel olarak ifade edersek, bir $A$ kümesinde tanımlı bir $\star$ işlemi için, eğer bir $e$ elemanı varsa ve bu $e$ elemanı kümedeki her $a$ elemanı için $a \star e = a$ ve $e \star a = a$ eşitliğini sağlıyorsa, $e$ elemanına $\star$ işleminin birim elemanı denir.
Şimdi bu tanımı toplama işlemi için uygulayalım:
- Tam sayılar kümesinde toplama işlemi için birim eleman arıyoruz. Bu, herhangi bir tam sayıyı bu birim elemanla topladığımızda, sonucun yine o tam sayı olması gerektiği anlamına gelir.
- Yani, bir $a$ tam sayısı ve birim eleman $e$ için: $a + e = a$ ve $e + a = a$ eşitlikleri sağlanmalıdır.
Şimdi seçeneklerimizi bu kurala göre tek tek inceleyelim:
- A) 1 seçeneğini inceleyelim: Herhangi bir tam sayıya $1$ eklediğimizde, sayının değeri değişir. Örneğin, $5 + 1 = 6$ olur. Sonucun $5$ olması gerekirken $6$ olduğu için $1$ birim eleman değildir.
- B) 0 seçeneğini inceleyelim: Herhangi bir tam sayıya $0$ eklediğimizde, sayının değeri değişmez. Örneğin, $5 + 0 = 5$ veya $-3 + 0 = -3$ olur. Genel olarak, bir $a$ tam sayısı için $a + 0 = a$ ve $0 + a = a$ eşitliği her zaman sağlanır. Bu tanıma tam olarak uyar.
- C) -1 seçeneğini inceleyelim: Herhangi bir tam sayıya $-1$ eklediğimizde, sayının değeri değişir. Örneğin, $5 + (-1) = 4$ olur. Sonucun $5$ olması gerekirken $4$ olduğu için $-1$ birim eleman değildir.
- D) 2 seçeneğini inceleyelim: Herhangi bir tam sayıya $2$ eklediğimizde, sayının değeri değişir. Örneğin, $5 + 2 = 7$ olur. Sonucun $5$ olması gerekirken $7$ olduğu için $2$ birim eleman değildir.
Görüldüğü gibi, toplama işleminde bir tam sayının değerini değiştirmeyen tek sayı $0$'dır. Bu nedenle, $0$ tam sayılar kümesinde toplama işleminin birim elemanıdır.
Cevap B seçeneğidir.
