9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 4

Sayı kümelerinin yoğunluk özelliği ile ilgili olarak aşağıdaki yargılardan hangisi YANLIŞTIR?

A) Rasyonel sayılar kümesi, herhangi iki elemanı arasında başka bir rasyonel sayı barındırır.
B) Tam sayılar kümesi yoğun değildir, çünkü 1 ile 2 arasında başka bir tam sayı yoktur.
C) Yoğun bir kümede, her elemanın hemen bir 'sonraki' elemanı bulunur.
D) Gerçek sayılar kümesi, sayı doğrusunu 'boşluksuz' bir şekilde doldurur.

Sayı kümelerinin yoğunluk özelliği, bir kümenin elemanlarının sayı doğrusu üzerinde ne kadar "sıkı" yerleştiğini ifade eder. Bir sayı kümesi yoğun ise, o kümeden alınan herhangi iki farklı eleman arasında, yine o kümeden en az bir başka eleman bulunabilir.

• A) Rasyonel sayılar kümesi, herhangi iki elemanı arasında başka bir rasyonel sayı barındırır.

  Bu ifade doğrudur. Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$) yoğundur. Örneğin, iki farklı rasyonel sayı $a$ ve $b$ verildiğinde, bunların ortalaması olan $\frac{a+b}{2}$ de bir rasyonel sayıdır ve $a$ ile $b$ arasında yer alır. Bu işlemi sonsuz kez tekrarlayabiliriz, bu da rasyonel sayıların yoğun olduğunu gösterir.

• B) Tam sayılar kümesi yoğun değildir, çünkü 1 ile 2 arasında başka bir tam sayı yoktur.

  Bu ifade doğrudur. Tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$) yoğun değildir. Yoğunluk tanımına göre, herhangi iki eleman arasında başka bir eleman bulunması gerekir. Ancak 1 ve 2 gibi ardışık tam sayılar arasında başka bir tam sayı bulunmaz. Bu durum, tam sayılar kümesinin yoğun olmadığını kanıtlar.

• C) Yoğun bir kümede, her elemanın hemen bir 'sonraki' elemanı bulunur.

  Bu ifade yanlıştır. Yoğun bir kümenin temel özelliklerinden biri, herhangi bir elemanın "hemen bir sonraki" veya "hemen bir önceki" elemanının tanımlanamamasıdır. Çünkü hangi elemanı alırsak alalım, onunla bir başka eleman arasında sonsuz sayıda başka eleman bulabiliriz. Örneğin, rasyonel sayılar kümesinde $0.5$ sayısının hemen bir sonraki rasyonel sayısını söylemek imkansızdır, çünkü $0.5$ ile ona ne kadar yakın bir sayı alırsak alalım, aralarında her zaman başka rasyonel sayılar vardır. Bu özellik, yoğun olmayan (ayrık) kümeler için geçerlidir (örneğin tam sayılar kümesinde 1'in hemen sonrası 2'dir).

• D) Gerçek sayılar kümesi, sayı doğrusunu 'boşluksuz' bir şekilde doldurur.

  Bu ifade doğrudur. Gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$) hem yoğundur hem de tamdır (complete). Yoğunluk özelliği, herhangi iki gerçek sayı arasında başka bir gerçek sayı bulunmasını sağlar. Tamlık özelliği ise, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla doldurulamayan "boşlukları" (irrasyonel sayılar) da kapsayarak sayı doğrusunu tamamen ve kesintisiz bir şekilde doldurduğu anlamına gelir.

Yukarıdaki açıklamalara göre, yoğun bir kümede "hemen bir sonraki" eleman kavramının olmaması nedeniyle C seçeneğindeki yargı yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.