9. Sınıf Gerçek Sayı Aralıkları ve Sayı Aralıklarında İşlemler Nasıl Yapılır? Test 1

M = (-∞, 3] ve N = [1, 5) kümeleri veriliyor. (M ∪ N) \ (M ∩ N) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞, 1) ∪ (3, 5)
B) (-∞, 1] ∪ [3, 5)
C) (-∞, 1) ∪ [3, 5)
D) (-∞, 1) ∪ (3, 5]

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki aralık kümesi üzerinde birleşim, kesişim ve fark işlemlerini kullanarak yeni bir küme oluşturacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Kümeleri ve İstenen İşlemi Anlayalım

  Bize $M = (-\infty, 3]$ ve $N = [1, 5)$ kümeleri verilmiş. Bulmamız gereken küme ise $(M \cup N) \setminus (M \cap N)$'dir. Bu ifade, $M$ ve $N$ kümelerinin birleşiminden, bu iki kümenin kesişimini çıkarmak anlamına gelir. Başka bir deyişle, $M$ veya $N$'de olan ama her ikisinde birden olmayan elemanları bulacağız. Bu işleme kümelerin simetrik farkı da denir.

• 2. Adım: $M \cup N$ (Birleşim Kümesi) Bulalım

  İki kümenin birleşimi, her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek:

  • $M = (-\infty, 3]$ kümesi, $3$ dahil olmak üzere $3$'ten küçük tüm sayıları içerir.
  • $N = [1, 5)$ kümesi, $1$ dahil olmak üzere $1$'den büyük ve $5$ hariç $5$'ten küçük tüm sayıları içerir.

  Bu iki kümeyi birleştirdiğimizde, en soldaki sınırdan (yani $-\infty$) en sağdaki sınıra (yani $5$) kadar olan tüm sayıları almış oluruz. $3$ ve $1$ zaten bu aralıkların içinde kalır.

  Bu durumda, $M \cup N = (-\infty, 5)$ olur. Yani, $5$ hariç tüm gerçek sayılar.

• 3. Adım: $M \cap N$ (Kesişim Kümesi) Bulalım

  İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanları içeren kümedir. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek:

  • $M = (-\infty, 3]$
  • $N = [1, 5)$

  Ortak elemanlar, $M$'nin sağ ucu ($3$) ile $N$'nin sol ucu ($1$) arasında kalan bölgededir. $1$ sayısı $N$ kümesine dahil olduğu gibi, $M$ kümesine de dahildir ($1 \le 3$). Benzer şekilde, $3$ sayısı $M$ kümesine dahil olduğu gibi, $N$ kümesine de dahildir ($3 < 5$).

  Bu durumda, $M \cap N = [1, 3]$ olur. Yani, $1$ ve $3$ dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayılar.

• 4. Adım: $(M \cup N) \setminus (M \cap N)$ (Fark Kümesi) Bulalım

  Şimdi, birleşim kümesinden kesişim kümesini çıkarmamız gerekiyor:

  $(M \cup N) \setminus (M \cap N) = (-\infty, 5) \setminus [1, 3]$

  Bu işlem, $(-\infty, 5)$ aralığındaki sayılardan, $[1, 3]$ aralığındaki sayıları çıkarmak demektir. Sayı doğrusu üzerinde hayal edelim:

  • $(-\infty, 5)$ aralığı, $5$ hariç tüm sayıları kapsar.
  • $[1, 3]$ aralığını bu kümeden çıkardığımızda, $1$ ve $3$ noktaları da dahil olmak üzere bu aralıktaki tüm sayılar çıkarılır.

  Bu çıkarma işlemi sonucunda iki ayrı aralık elde ederiz:

  • $1$'den küçük olan kısım: $(-\infty, 1)$. Burada $1$ çıkarıldığı için açık aralık olur.
  • $3$'ten büyük olan kısım: $(3, 5)$. Burada $3$ çıkarıldığı için açık aralık olur ve $5$ zaten başlangıçta dahil değildi.

  Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, $(-\infty, 1) \cup (3, 5)$ sonucunu elde ederiz.

• 5. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz sonuç $(-\infty, 1) \cup (3, 5)$'tir. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $(-\infty, 1) \cup (3, 5)$
  • B) $(-\infty, 1] \cup [3, 5)$
  • C) $(-\infty, 1) \cup [3, 5)$
  • D) $(-\infty, 1) \cup (3, 5]$

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.