Gerçek sayı doğrusunda A = [-3, 7) ve B = (2, 10] kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [-3, 10]Sevgili öğrenciler, bu soruda iki kümenin birleşimini bulmamız isteniyor. Birleşim işlemi, kümelerdeki tüm elemanları bir araya getirmek anlamına gelir. Adım adım ilerleyelim:
A kümesi $A = [-3, 7)$ şeklinde verilmiş. Bu, $-3$ dahil olmak üzere $7$'ye kadar (ancak $7$ dahil değil) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x$ gerçek sayısı için $-3 \le x < 7$ koşulunu sağlar.
B kümesi $B = (2, 10]$ şeklinde verilmiş. Bu, $2$ dahil olmamak üzere $10$'a kadar (ancak $10$ dahil) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x$ gerçek sayısı için $2 < x \le 10$ koşulunu sağlar.
İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu iki kümeden en az birinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Basitçe, $A$'daki tüm sayılarla $B$'deki tüm sayıları bir araya getirip tek bir aralık oluşturacağız.
Birleşim kümesinin başlangıç noktası, verilen kümelerin başlangıç noktalarından en küçüğü olacaktır. A kümesi $-3$'ten başlıyor (dahil), B kümesi $2$'den başlıyor (hariç). Bu iki değerden en küçüğü $-3$'tür. A kümesi $-3$'ü içerdiği için, birleşim kümesi de $-3$'ü içerecektir. Yani, birleşim kümesi $[-3, \dots)$ şeklinde başlayacaktır.
Birleşim kümesinin bitiş noktası, verilen kümelerin bitiş noktalarından en büyüğü olacaktır. A kümesi $7$'de bitiyor (hariç), B kümesi $10$'da bitiyor (dahil). Bu iki değerden en büyüğü $10$'dur. B kümesi $10$'u içerdiği için, birleşim kümesi de $10$'u içerecektir. Yani, birleşim kümesi $(\dots, 10]$ şeklinde bitecektir.
A kümesi $[-3, 7)$ aralığını kapsar. B kümesi $(2, 10]$ aralığını kapsar. Sayı doğrusu üzerinde düşündüğümüzde, A kümesi $-3$'ten $7$'ye kadar olan tüm sayıları ($-3$ dahil, $7$ hariç) içerir. B kümesi ise $2$'den $10$'a kadar olan tüm sayıları ($2$ hariç, $10$ dahil) içerir. Bu iki aralık birbiriyle örtüşür ve arada herhangi bir boşluk bırakmaz. Örneğin, $2$ sayısı A kümesinde yer aldığından birleşimde de yer alır. $7$ sayısı B kümesinde yer aldığından birleşimde de yer alır. Bu durumda, $-3$'ten $10$'a kadar olan tüm sayılar birleşim kümesinde yer alacaktır.
Yukarıdaki adımları birleştirdiğimizde, birleşim kümesi en küçük başlangıç noktası olan $-3$ (dahil) ile en büyük bitiş noktası olan $10$ (dahil) arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşur. Bu da $[-3, 10]$ aralığıdır.
Bu durumda, $A \cup B = [-3, 10]$ olur.
Seçeneklere baktığımızda, bu sonuç A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
