30-60-90 üçgeninde kenar uzunlukları oranı 1:√3:2'dir. Buna göre, en kısa kenarı 5 cm olan üçgenin çevresi kaç cm'dir?
A) 10+5√3Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için 30-60-90 özel üçgeninin kenar özelliklerini hatırlayalım ve adım adım ilerleyelim.
30-60-90 üçgeni, iç açıları 30 derece, 60 derece ve 90 derece olan özel bir dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir oran vardır:
30 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu $k$ ise,
60 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu $k\sqrt{3}$ olur,
90 derecenin (hipotenüs) karşısındaki kenar uzunluğu ise $2k$ olur.
Soruda bu oran $1:\sqrt{3}:2$ olarak verilmiş. Bu da aslında $k:k\sqrt{3}:2k$ oranının $k=1$ hali demektir.
Bir üçgende en kısa kenar, en küçük açının karşısındaki kenardır. 30-60-90 üçgeninde en küçük açı 30 derecedir. Dolayısıyla, 30 derecenin karşısındaki kenar en kısa kenardır.
Soruda en kısa kenarın 5 cm olduğu belirtilmiş. Bu durumda, 30 derecenin karşısındaki kenar $k=5$ cm'dir.
Şimdi diğer kenarları bulalım:
60 derecenin karşısındaki kenar: $k\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ cm.
90 derecenin (hipotenüs) karşısındaki kenar: $2k = 2 \times 5 = 10$ cm.
Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Bulduğumuz kenar uzunluklarını toplayarak çevreyi hesaplayabiliriz.
Çevre = (30 derecenin karşısındaki kenar) + (60 derecenin karşısındaki kenar) + (90 derecenin karşısındaki kenar)
Çevre = $5 \text{ cm} + 5\sqrt{3} \text{ cm} + 10 \text{ cm}$
Çevre = $(5+10) \text{ cm} + 5\sqrt{3} \text{ cm}$
Çevre = $15 + 5\sqrt{3}$ cm.
Böylece üçgenin çevresini $15 + 5\sqrt{3}$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
