10. Sınıf Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Nasıl Bulunur? Test 2

Bir $X$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^a \cdot 3^b$ şeklindedir. $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $X$ sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni bulunmaktadır. Buna göre, $2X$ sayısının pozitif tam sayı bölen sayısı en az kaçtır?

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Bölen Sayısı Formülü

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot ... \cdot p_n^{e_n}$ ise, bu sayının pozitif bölen sayısı $(e_1 + 1)(e_2 + 1)...(e_n + 1)$ formülü ile bulunur.

• Adım 2: X Sayısının Bölen Sayısı

$X$ sayısı $2^a \cdot 3^b$ şeklinde verilmiş ve 12 tane pozitif böleni var. O halde, $(a+1)(b+1) = 12$ olmalıdır.

• Adım 3: a ve b Değerlerinin Olasılıkları

$(a+1)(b+1) = 12$ eşitliğini sağlayan $(a, b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Buradan:

• $a+1 = 2$ ve $b+1 = 6$ ise $a = 1$ ve $b = 5$ olur.
• $a+1 = 3$ ve $b+1 = 4$ ise $a = 2$ ve $b = 3$ olur.
• $a+1 = 4$ ve $b+1 = 3$ ise $a = 3$ ve $b = 2$ olur.
• $a+1 = 6$ ve $b+1 = 2$ ise $a = 5$ ve $b = 1$ olur.

• Adım 4: 2X Sayısının İncelenmesi

$2X$ sayısını bulalım. $2X = 2 \cdot (2^a \cdot 3^b) = 2^{a+1} \cdot 3^b$ olur. $2X$'in bölen sayısı $(a+2)(b+1)$ olacaktır.

• Adım 5: Bölen Sayısının Minimum Değeri

Şimdi, bulduğumuz $(a, b)$ değerleri için $(a+2)(b+1)$ değerini hesaplayalım:

• $a = 1$ ve $b = 5$ için $(1+2)(5+1) = 3 \cdot 6 = 18$
• $a = 2$ ve $b = 3$ için $(2+2)(3+1) = 4 \cdot 4 = 16$
• $a = 3$ ve $b = 2$ için $(3+2)(2+1) = 5 \cdot 3 = 15$
• $a = 5$ ve $b = 1$ için $(5+2)(1+1) = 7 \cdot 2 = 14$

Gördüğümüz gibi, $2X$'in bölen sayısının alabileceği en küçük değer 14'tür.

Cevap B seçeneğidir.