Bir mühendis, bir sinyal işleme algoritmasında $A = \frac{1}{\sec x - \tan x}$ ve $B = \frac{1}{\sec x + \tan x}$ şeklinde tanımlanan iki sinyal bileşenini analiz etmektedir. Bu iki bileşenin toplamı olan $A+B$ ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $2 \sin x$
B) $2 \cos x$
C) $2 \tan x$
D) $2 \sec x$
İşte bu soruyu adım adım çözümü:
Öncelikle $A$ ve $B$ ifadelerini yazalım:
* $A = \frac{1}{\sec x - \tan x}$
* $B = \frac{1}{\sec x + \tan x}$
Şimdi $A + B$ toplamını bulalım:
* $A + B = \frac{1}{\sec x - \tan x} + \frac{1}{\sec x + \tan x}$
İki kesri toplamak için paydaları eşitlememiz gerekiyor. Paydaları eşitlemek için ilk kesri $(\sec x + \tan x)$ ile, ikinci kesri $(\sec x - \tan x)$ ile genişletelim:
* $A + B = \frac{\sec x + \tan x}{(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)} + \frac{\sec x - \tan x}{(\sec x + \tan x)(\sec x - \tan x)}$
Şimdi paydalar aynı olduğuna göre kesirleri toplayabiliriz:
* $A + B = \frac{\sec x + \tan x + \sec x - \tan x}{(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)}$
Paydadaki $\tan x$ ve $-\tan x$ terimleri birbirini götürür:
* $A + B = \frac{2 \sec x}{(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)}$
Paydadaki ifadeyi $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)$ dikkatlice inceleyelim. Bu, iki kare farkı özdeşliğidir: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Bu özdeşliği kullanarak paydayı sadeleştirebiliriz:
* $A + B = \frac{2 \sec x}{\sec^2 x - \tan^2 x}$
Trigonometrik bir özdeşlik olan $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ 'i hatırlayalım. Bu özdeşliği kullanarak $\sec^2 x - \tan^2 x$ ifadesini sadeleştirebiliriz:
* $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$
Şimdi bu sonucu $A + B$ ifadesinde yerine koyalım:
* $A + B = \frac{2 \sec x}{1}$
* $A + B = 2 \sec x$
Bu nedenle, $A + B$ ifadesinin en sade hali $2 \sec x$ 'tir.
Cevap D seçeneğidir.
